By Long Luo
RSA 是什么？
\(\textit{RSA}\) 公钥加密算法是 1977 年由 Ron Rivest、Adi Shamirh 和 Leonard Adleman 在美国麻省理工学院开发的。 \(\textit{RSA}\) 取名来自开发他们三者的名字。
\(\textit{RSA}\) 算法基于一个十分简单的数论事实：将两个大素数相乘十分容易，但想要对其乘积进行因式分解却极其困难，因此可以将乘积公开作为加密密钥。
RSA算法原理
\(\textit{RSA}\) 算法是一种非对称密码算法，所谓非对称，就是指该算法需要一对密钥，使用其中一个加密，则需要用另一个才能解密。
下面我们就详细讲解下 \(\textit{RSA}\) 算法加解密过程。
RSA算法组成部分
- 原文(Message)：需要加密的信息，可以是数字、文字、视频、音频等，用 \(M\) 表示。
- 密文(Ciphertext)：加密后得到的信息，用 \(C\) 表示。
- 公钥(Public Key)和私钥(Private Key)：用 \(PU\) 和 \(PR\) 表示。
- 加密算法(Encryption)：若 \(E(x)\) 为加密算法，加密过程可以理解为 \(C = E(M)\) 根据原文和加密算法得到密文。
- 解密算法(Decryption)：若 \(D(x)\) 为解密算法，解密过程可以理解为 \(M=D(C)\) 根据密文和解密算法得到原文。
RSA算法加密过程
随机选择两个不相同的素数 \(p, q\)；
将 \(p, q\) 相乘，记为 \(n = p \times q\)；
计算 \(n\) 的欧拉函数 \(\varphi(n)\) ，欧拉函数 证明，当 \(p, q\) 为不相同的素数时，\(\varphi(n) = (p-1)(q-1)\)。
随机选择一个整数 \(e\)，满足两个条件：\(\varphi(n)\) 与 \(e\) 互质，且 \(1 < e < \varphi(n)\)。
计算 \(e\) 对于 \(\varphi(n)\) 的模反元素 \(d\)，也就是说找到一个 \(d\) 满足 \(ed \equiv 1 \mod \varphi(n)\)。这个式子等价于 \(ed - 1 = k \times \varphi(n)\)，实际上就是对于方程 \(ed - k \times \varphi(n) = 1\) 求 \((d, k)\) 的整数解。这个方程可以用扩展欧几里得算法 求解。
最终把 \((e,n)\) 封装成公钥，\((d,n)\) 封装成私钥。
由于理论太枯燥，我们来举个实际例子运行一遍这个算法。
随机选择两个不相同的素数 \(p, q\)。我们选择 \(p=103, q=97\)。
将 \(p,q\) 相乘， $ n = 103 = 9991$
\(\varphi(n)=(103 - 1)(97 - 1) = 9792\)
随机选择一个 \(e = 1213\)，满足 \(\varphi(n)\) 与 \(e\) 互质且 \(1 < e < \varphi(n)\)。
计算 \(e\) 对于 \(\varphi(n)\) 的模反元素 \(d\)，即代入方程 \(ed - k \times \varphi(n)=1\) 求整数解。将 \(e=1213,\varphi(n)=9792\) 代入方程，得到 \(1213 \times d - 9792 \times k = 1\)，很容易可以找到 \((k,d)\) 的一组解 \(k=510, d=4117\) 。
封装公钥和私钥，最终得到的公钥 \((e,n)=(1213, 9991)\)，私钥 \((d,n)=(4117, 9991)\)。
至此为止，我们有了原文 \(M\) ，公钥 \((e,n)\) 和私钥 \((d,n)\) 。有了这些信息就可以开始加密和解密了。
加密
在 \(\textit{RSA}\) 算法中，加密过程实际上就是利用公钥 \((e,n)\) 计算 \(C \equiv M^e (mod \ n)\)。假设原文 \(M=6\)，代入上面的值，得到 \(C = 6^{1213} (mod \ 9991) = 7863\)。 于是 \(C=7863\)，Alice就把 \(7863\) 发给了Bob。
解密
Bob收到了密文 \(C = 7863\)，就用自己的私钥 \((d,n) = (4117, 9991)\) 进行解密。\(\textit{RSA}\) 证明，原文的 \(e\) 次方对 \(n\) 取模恒等于 \(c\) 的 \(d\) 次方，即 \(C^d \equiv M^e (mod \ n)\) 一定成立，所以 \(M = C^d mod \ n\)。代入 \(C,d,n\) 的值，得到 \(M = 7863^{4117} mod \ 9991 = 6\)。
所以Bob就从密文 \(C\) 和私钥 \((d,n)=(4117, 9991)\) 知道了加密之前的原文 \(M=6\)。
在整个通信过程Alice只用到了公钥 \((e,n)\) 进行加密，Bob只用到了私钥 \((d,n)\) 解密，没有任何关于秘钥的传递，只有加密后的密文 \(C\) 有可能在通信中被窃听到。
为什么 RSA 可以保证加密通信不被破解？
回顾上面的加密过程，我们用到了六个变量： \(p,q,n,\varphi(n),e,d\)，其中只有公钥 \((e,n)\) 是公开的。想要破解密文，只要知道私钥 \((d,n)\)，计算 \(M = C^d mod \ n\) 就可以破解 \(\textit{RSA}\) 算法。
那么，有没有可能在已知公钥 \((e,n)\) 的情况下，推导出私钥 \((d,n)\)？
根据 \(\textit{RSA}\) 构造的规则（见上述 \(\textit{RSA}\) 加密过程1-6步），可以得到以下信息：
因为公钥中已知 \(n\)，只要计算出 \(d\)，就能得到私钥。
\(ed \equiv 1 (mod \varphi(n))\)，需要知道 \(e\) 和 \(\varphi(n)\) 的值来求出 \(d\)。因为在公钥中已知 \(e\)，所以只要求出 \(\varphi(n)\) 的值。
\(\varphi(n)=(p-1)(q-1)\)，要求出 \(\varphi(n)\) 的值，需要求出 \(p,q\) 的值。
\(n = p \times q\)，想要求出 \(p,q\) 的值，必须对 \(n\) 做因数分解。
结论：如果 \(n\) 可以被因数分解，\(d\) 就可以沿着4，3，2，1步骤推出，也就意味着私钥被破解。
但是大整数的质因数分解，是一件非常困难的事情。目前，除了暴力破解，还没有发现别的有效方法。