By Long Luo

最近在书店里看到一本 《数学的奥秘》 ，原著是 《The Secret Life of Equations: The 50 Greatest Equations and How They Work》 ，讲的是最伟大的数学方程式起源、构成、含义和应用。书的内容并不多，我看了其中的一部分，里面有讲 墨卡托投影(Mercator projection)¹ 。

我对地理和地图一直很感兴趣，但之前对原理一直一知半解的，只知道我们常见的地图都是墨卡托投影，由墨卡托² 在 1569年创立。但墨卡托投影的原理是什么却并不清楚。书里面只有几页，但具体公式缺乏说明及推导过程，所以这几天通过查找资料掌握了墨卡托投影的原理。

如何绘制地图？

在大航海时代，航海家可以通过六分仪和观察日月星辰获取到经纬度，但在茫茫大海中迷失方向是很可怕的事情，如何才能正确的航行到目的地呢？

地球由于自转是一个两极比赤道略短的扁球体，但扁率约为 \(1/300\) ，非常之低，因为可以视为球体。因为球面不是可展曲面，也就是如果展成平面的话，长度会发生形变，所以也会形变。因为根据高斯绝妙定理（Gauss theorem egregium）³ ，平面的高斯曲率为 \(0\) ，而球面的高斯曲率为 \(\frac{1}{R^2}\) ，其中 \(R\) 为球面半径，所以在保持图形完整性前提下，将球面转化为平面，投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形，也就是说，在投影的过程中，变形是必然存在的。

在这种情况下，墨卡托运用等角圆柱投影法绘制了航海图，极大地方便了航海家。有了墨卡托海图，航海家想要到达某个目的地，只需要在出发点和目的地之间连一条直线，量出这条航线和经线的夹角，按照航行路线就能到达目的地。

什么是墨卡托投影？

设想将地球置于在一中空的圆柱里，如下图所示，其基准纬线（赤道）与圆柱相切。再设想地球中心处放置一灯泡，那么从球心处发射的光线会把球面上的图形投影到圆柱体上，之后再将把圆柱体展开，那么就可以得到一张墨卡托投影绘制出的地图。

By Long Luo

待继续完善

引言：

线性回归是一种经典的统计学方法，被广泛应用于数据分析、预测和建模。它的数学原理简单而直观，能够从数据中找到变量之间的线性关系，并通过这种关系进行预测。本文将介绍线性回归的数学原理、应用实例，以及其优点和不足之处。

数学原理

线性回归的基本思想是寻找输入变量（自变量）与输出变量（因变量）之间的线性关系。其数学模型可以表示为：

\[ y_{i}\,= \,\beta _{0} + \beta _{1}x_{i} + \beta _{2}x_{i}^{2} + \cdots + \beta _{m}x_{i}^{m} + \varepsilon _{i}\ (i = 1, 2, \dots , n) \]

\[ J(\theta ) = \sum_{i = 1}^{n} (y_i - p_m (x_i))^2 \]

\[ \frac {d(J(\theta ))}{d \theta} = 0 \]

\[ A \vec {\theta } = B \]

其中Y表示因变量，Xi表示自变量，βi表示对应自变量的系数，ε表示误差项。线性回归的目标是找到最优的系数β，使得预测值与实际观测值之间的误差最小。

By Long Luo

PID 算法 s是自动控制领域中很重要的算法。

\[ u(t) = K_Pe(t) + K_I \int e(t) \mathrm{d}t + K_D \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t} \]

Simple PID Controller

非常简单的 PID 算法在线互动式模拟器，传送门 → ：

之前这个是 PID v1.0 版本，最近重构了代码，增加了一些新功能：

1. 增加机器人速度 \(v\) 及加速度 \(a\) 显示；
2. 增加 2 个图表展示 PID X 轴方向及 Y 轴方向的 P、I、D \(3\) 个分量随时间变化显示；
3. 之前代码将时间及速度固定了，但这不符合实际，增加随 \(dt\) 变化积分和微分项；

By Long Luo

Kalman Filter¹ 是贝叶斯滤波器的一种特殊实现。

Kalman Filter 1D | 一维卡尔曼滤波器

一维卡尔曼滤波器如下图所示：

在线动画展示：http://www.longluo.me/projects/kalman/

By Long Luo

在数学、物理学、工程和计算机领域中，泰勒公式¹ 是一种广泛使用的分析方法，用来计算函数的近似值。在实践中，很多函数非常复杂，而且某些函数是不可积的，想求其某点的值，直接求无法实现。

泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

下图所示就是不同项数的泰勒公式对 \(\sin x\) 的逼近：

泰勒级数的定义为：

\[ f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2} + {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots \]

这里，\(n!\) 表示 \(n\) 的阶乘，而 \(f^{(n)}(a)\) 表示函数 \(f\) 在点 \(a\) 处的 \(n\) 阶导数。如果 \(a = 0\) ，这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series)² 。

泰勒展开式有很多，那么如何记忆呢？首先我们需要明白，泰勒公式之间都是有相互关联的，我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络³ 。

下面我们就推导这些公式，以便更好的记忆⁴ ！

几何级数 Geometric series

对于 \(-1 < x < 1\) 的情况，几何级数⁵ 由等比数列求和公式可得：

\[ \frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \]

用 \(-x\) 代入 \(x\) 上式，则：

\[ \frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3 + \cdots + (-1)^n x^{n} \]

用 \(x^2\) 替代 \(x\) , 由于 \(\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x\) ，对于 \(-1 \le x \le 1, x \neq \pm i\) ，

\[ \arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} = x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1} \]

因为 \(\frac{1}{(1 - x)^2} = (\frac{1}{1 - x})'\) ，则：

\[ \begin{aligned} \frac {1}{(1-x)^2} &= \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1} \end{aligned} \]

同 \(\frac{1}{(1 - x)^3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{(1 - x)^2})'\) ，则有：

\[ \frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n - 2} \]

指数函数 Exponent function

由于 \(\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^x\) ，\(e^0 = 1\) 那么：

\[ e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac{x^2}{2!}} + {\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac{x^n}{n!}} \]

很明显：

\[ \begin{aligned} (e^x)' &= (\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)' \\ e^x &= 0+1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots \\ &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \end{aligned} \]

对于普通指数函数 \(a^x\) , 由于 \(a^x=e^{x\ln a}\) ，如果将 \(x\) 换为 \(x\ln a\) ，那么 \(a^x\) 的泰勒展开式：

\[ \begin{aligned} a^x &= e^{x \ln a} \\ &= 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \cdots + \frac{(x \ln a)^n}{n!} \\ \end{aligned} \]