By Long Luo

任何一款科学计算器上都可以计算三角函数，三角函数应用于生活工作中的方方面面，但计算机是如何计算三角函数值的呢？

三角函数本质上是直角三角形的3条边的比例关系，计算并没有很直观，那么计算机是如何计算三角函数值的呢？

在微积分中我们学习过 泰勒公式 ，我们知道可以使用泰勒展开式来对某个值求得其近似值，例如：

\[ \sin \angle 18^{\circ} = \frac{\sqrt {5} - 1}{4} \approx 0.3090169943 \]

利用泰勒公式，取前 \(4\) 项：

\[ \sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} \]

代入可得：

\[ \sin \angle 18^{\circ} = \sin \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10} - \frac{1}{6} (\frac{\pi}{10})^3 + \frac{1}{120} (\frac{\pi}{10})^5 - \frac{1}{5040} (\frac{\pi}{10})^7 \approx 0.30903399538 \]

可见取前 \(4\) 项时精度已经在 \(10^{-5}\) 之下，对于很多场合精度已经足够高了。

在没有了解 CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) Algorithm ¹ 算法之前，我一直以为计算器是利用泰勒公式去求解，最近才了解到原来在计算机中，CORDIC 算法远比泰勒公式高效。

下面我们就来了解下泰勒公式的不足之处和 CORDIC 算法是怎么做的。

泰勒公式的缺点

上一节我们使用泰勒公式去计算三角函数值时，需要做很多次乘法运算，而计算器中乘法运算是很昂贵的，其缺点如下所示：

1. 展开过小则会导致展开精度不够，展开过大则会导致计算量过大；
2. 幂运算需要使用乘法器，存在很多重复计算；
3. 需要很多变量来存储中间值。

在之前的文章 矩阵乘法的 Strassen 算法 ，就是通过减少乘法，多做加法，从而大大降低了运算量，那么我们可以用相同的思想来优化运算吗？

当然可以，让我们请出今天的主角：CORDIC 算法。

By Long Luo

最近在书店里看到一本 《数学的奥秘》 ，原著是 《The Secret Life of Equations: The 50 Greatest Equations and How They Work》 ，讲的是最伟大的数学方程式起源、构成、含义和应用。书的内容并不多，我看了其中的一部分，里面有讲 墨卡托投影 (Mercator projection)¹ 。

我对地理和地图一直很感兴趣，但之前对原理一直一知半解的，只知道我们常见的地图都是墨卡托投影，由墨卡托² 在 1569年创立。但墨卡托投影的原理是什么却并不清楚。书里面只有几页，但具体公式缺乏说明及推导过程，所以这几天通过查找资料掌握了墨卡托投影的原理。

如何绘制地图？

在大航海时代，航海家可以通过六分仪和观察日月星辰获取到经纬度，但在茫茫大海中迷失方向是很可怕的事情，如何才能正确的航行到目的地呢？

地球由于自转是一个两极比赤道略短的扁球体，但扁率约为 \(\frac {1}{300}\) ，非常之低，因为可以视为球体。因为球面不是可展曲面，也就是如果展成平面的话，长度会发生形变，所以也会形变。因为根据高斯绝妙定理 (Gauss theorem egregium)³ ，平面的高斯曲率为 \(0\) ，而球面的高斯曲率为 \(\frac {1}{R^2}\) ，其中 \(R\) 为球面半径，所以在保持图形完整性前提下，将球面转化为平面，投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形，也就是说，在投影的过程中，变形是必然存在的。

在这种情况下，墨卡托运用等角圆柱投影法绘制了航海图，极大地方便了航海家。有了墨卡托海图，航海家想要到达某个目的地，只需要在出发点和目的地之间连一条直线，量出这条航线和经线的夹角，按照航行路线就能到达目的地。

什么是墨卡托投影？

设想将地球置于在一中空的圆柱里，如下图所示，其基准纬线（赤道）与圆柱相切。再设想地球中心处放置一灯泡，那么从球心处发射的光线会把球面上的图形投影到圆柱体上，之后再将把圆柱体展开，那么就可以得到一张墨卡托投影绘制出的地图。

By Long Luo

PID 算法 s是自动控制领域中很重要的算法。

\[ u(t) = K_Pe(t) + K_I \int e(t) \mathrm{d}t + K_D \frac{\mathrm{d}e(t)}{\mathrm{d}t} \]

Simple PID Controller

非常简单的 PID 算法在线互动式模拟器，传送门 → ：

之前这个是 PID v1.0 版本，最近重构了代码，增加了一些新功能：

1. 增加机器人速度 \(v\) 及加速度 \(a\) 显示；
2. 增加 2 个图表展示 PID X 轴方向及 Y 轴方向的 P、I、D \(3\) 个分量随时间变化显示；
3. 之前代码将时间及速度固定了，但这不符合实际，增加随 \(dt\) 变化积分和微分项；

By Long Luo

Kalman Filter¹ 是贝叶斯滤波器的一种特殊实现。

Kalman Filter 1D | 一维卡尔曼滤波器

一维卡尔曼滤波器如下图所示：

在线动画展示：http://www.longluo.me/projects/kalman/

By Long Luo

在数学、物理学、工程和计算机领域中，泰勒公式¹ 是一种广泛使用的分析方法，用来计算函数的近似值。在实践中，很多函数非常复杂，而且某些函数是不可积的，想求其某点的值，直接求无法实现。

泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

下图所示就是不同项数的泰勒公式对 \(\sin x\) 的逼近：

泰勒级数的定义为：

\[ f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2} + {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots \]

这里，\(n!\) 表示 \(n\) 的阶乘，而 \(f^{(n)}(a)\) 表示函数 \(f\) 在点 \(a\) 处的 \(n\) 阶导数。如果 \(a = 0\) ，这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series)² 。

泰勒展开式有很多，那么如何记忆呢？首先我们需要明白，泰勒公式之间都是有相互关联的，我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络³ 。

下面我们就推导这些公式，以便更好的记忆⁴ ！

几何级数 Geometric series

对于 \(-1 < x < 1\) 的情况，几何级数⁵ 由等比数列求和公式可得：

\[ \frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \]

用 \(-x\) 代入 \(x\) 上式，则：

\[ \frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3 + \cdots + (-1)^n x^{n} \]

用 \(x^2\) 替代 \(x\) , 由于 \(\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x\) ，对于 \(-1 \le x \le 1, x \neq \pm i\) ，

\[ \arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} = x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1} \]

因为 \(\frac{1}{(1 - x)^2} = (\frac{1}{1 - x})'\) ，则：

\[ \begin{aligned} \frac {1}{(1-x)^2} &= \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1} \end{aligned} \]

同 \(\frac{1}{(1 - x)^3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{(1 - x)^2})'\) ，则有：

\[ \frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n - 2} \]

指数函数 Exponent function

由于 \(\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^x\) ，\(e^0 = 1\) 那么：

\[ e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac{x^2}{2!}} + {\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac{x^n}{n!}} \]

很明显：

\[ \begin{aligned} (e^x)' &= (\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)' \\ e^x &= 0+1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots \\ &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \end{aligned} \]

对于普通指数函数 \(a^x\) , 由于 \(a^x=e^{x\ln a}\) ，如果将 \(x\) 换为 \(x\ln a\) ，那么 \(a^x\) 的泰勒展开式：

\[ \begin{aligned} a^x &= e^{x \ln a} \\ &= 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \cdots + \frac{(x \ln a)^n}{n!} \\ \end{aligned} \]