夏至日测地球：利用太阳影子计算地球半径
By Long Luo
在之前的文章里 如何用一根棍子测出地球有多大？复刻埃拉托色尼的春分实验 ，复刻了埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) 的测量地球实验。因为春分时太阳直射赤道，我们只需要测量当地正午时影子即可，然后借助 Google 地图来获取与赤道之间距离，虽然这有点作弊的感觉，最后计算得到了非常精确的结果。
这个实验需要测量经度相同但纬度不同的 \(2\) 个地方的影子数据以及它们之间的距离，根据影子计算 \(A\) 地的纬度 \(\theta_1\) 以及 \(B\) 地的纬度 \(\theta_2\) ，于是可以得到地球半径计算公式：
\[ R_{\textit{earth}} \approx \frac {d}{\theta_1 - \theta_2} \approx \frac {d}{\Delta \theta} \tag{1} \]
如果我们能找到一个经度相差不大的远方朋友帮忙测量当地正午时的影子，然后根据两地的距离就可以很轻松计算地球大小。不过我并没有找到这样一位朋友在正午时测量日影，但我想到了多个方法可以实现这一点。首先在夏至日这天我并不需要这样一位朋友帮忙也可以实现。因为这一天太阳将直射北回归线，我只需要测量我所在地方正午时的影子就可以了。
2026 年 6 月 21 日夏至日，也恰逢端午假期。这里说下题外话，查了最近几年的端午假期，发现端午也就和夏至相隔几天，突然意识到端午最初起源可能就是纪念夏至日，以前都没想到这一点。网上搜了一些文章，发现确实如此，端午确实就是纪念夏至日的。
根据 timeanddate 网站，深圳当地时间正午为 \(12:25\) ，下面图 1 是我拍摄的台阶的影子：
由于 \(\theta\) 角度很小，可以利用近似关系：
\[ \theta \approx \tan \theta \approx \arctan \theta \tag{2} \]
则有：
\[ \theta_1 \approx \arctan \left( \frac{0.1}{7} \right) \approx 0.014285 \, \textit{rad} \approx 0.8185^\circ \tag{3} \]
这个值是通过绘图软件计算像素大小得到的。同时利用卷尺测量台阶高度及影子长度如下图 2 所示：
由于深圳地处北纬 \(22.5^\circ\) ，夏至日时太阳几乎位于正上方，影子非常短，如图 3 所示：
根据测量数据，同样根据公式 (2) 有：
\[ \theta_2 \approx \arctan \left( \frac{1.1}{97} \right) \approx 0.01134 \, \textit{rad} \approx 0.6497^\circ \tag{4} \]
在夏至日，太阳直射北回归线，现在仅需一个两地距离。根据 Google 地图，深圳机场距离广州从化北回归线纪念塔距离约 \(116 \mathrm{km}\) 。具体来说，广州从化北回归线纪念塔纬度为 \(23.441233^\circ N\) ，经度为 \(113.482267^\circ E\) ，深圳机场纬度为 \(22.63944^\circ N\)，经度为 \(113.81083^\circ E\) ，相差很小 ，可以忽略不计。
分别代入公式 (1) ，则有：
\[ R_{1} \approx \frac {d}{\theta_1} \approx \frac {116}{0.1/7} \approx 8120 \mathrm{km} \]
卷尺测量
\[ R_{2} \approx \frac {d}{\theta_2} \approx \frac {116}{1.1/97} \approx 10229 \mathrm{km} \]
可见两者误差都比较大，但卷尺测量计算的数据误差太大，只能说对于数量级的估计是准确的。
误差分析
因为北回归线纬度是 \(23.43585^\circ\) ，计算得到的角度应该接近 \(0.9^\circ\) 才是准确的，那卷尺的误差来自哪里呢？
我分析了可能是以下原因：
阴影边缘测量不准确，不好确定边界，而照片对比强烈，反而好确认边界，因为导致阴影长度偏小。如果阴影长度为 \(1.5cm\) 的话，计算得到的地球半径值将十分准确；
两地之间距离偏大，一方面经度不一致，另外线路有点绕。对于小距离来说，偏差 \(10km\) 就会导致最终计算结果误差较大。