如何用一根棍子测出地球有多大？复刻埃拉托色尼的春分实验
By Long Luo
天似穹庐，笼盖四野。仰望天空，头顶的苍穹如同一顶巨大的圆盖，将万物尽数笼罩；而脚下的大地辽阔无垠，行走其上却难见边界。在漫长的历史中，“天圆地方”的观念显得那样自然：天空是弯曲的，土地是平坦的。毕竟，对古人而言，大地实在太大了，大到穷尽一生也难以走到尽头，很难获知大地到底是什么样的形状。
我们脚下的大地是个球
在遥远的地中海彼岸，生活在古希腊的思想家们却通过观察到很多自然现象开始怀疑直觉，认识到其实大地并非平坦，而是一个巨大的球体。
公元前600年前后，古希腊哲学家毕达哥拉斯( \(\textit{Pythagoras}\) )从美学观念出发，认为宇宙一定是和谐的、简单的，宇宙中所有天体的形状和它们的运动轨道都应该是完美的。他认为，一切立体图形中最美的是球形，因为球面上的任何一点离球心的距离都相等，所以天体一定是球形的，太阳、月亮是球形的，恒心天球是球形的，大地也一定是球形的 1 。
古希腊著名哲学家亚里多士德( \(\textit{Aristotle}\) )则提供了多个物理证据说明了地球是圆的：远去的帆船逐渐消失在地平线下，桅杆是最后消失的；当我们朝北或朝南运动时，所看到的星空是不相同的，例如越往北，北极星在天空的高度就越高；发生月食时，地球在月亮上的阴影是圆的。
如果大地真是一个球，那么一个不可回避的问题便随之而来：这个球究竟有多大？它的周长是多少？在没有卫星、没有望远镜的时代，这似乎是一个无解的难题。
埃拉托色尼的最美实验
几乎每一本讲述科学史的书都会讲述埃拉托色尼( \(\textit{Eratosthenes}\) ) 2 测量地球实验。他仅凭阳光与影子，便完成了人类历史上第一次对地球大小的测量，这个实验也被评为世界最美实验之一 3。
埃拉托斯特尼（公元前 276 —— 195 年）是亚历山大图书馆的馆长，也是古代最伟大的思想家之一，不仅博学多才，还是一位杰出的数学家和天文学家。不幸的是，亚历山大图书馆后来毁于战火，他的大部分著作也随之失传，但幸运的是，他用棍子的阴影计算地球大小的优雅方法得以保存。
埃拉托斯特尼对天文学的研究促使他产生了测量地球周长的思想。他了解到，在埃及南部的塞伊尼( \(\textit{Syene}\) )，也就是阿斯旺附近，有一口特殊的井，每年的 6 月 21 日的正午，太阳会直射井底。埃拉托色尼认识到，在这天正午，太阳必定在头顶正上方，今天我们知道，这是因为塞伊尼城位于北回归线附近，每年夏至 4日这天太阳直射北回归线，如下图1所示。而这种事情却没有在赛伊尼北方的亚历山大发生过。太阳不能同时在塞伊尼和亚历山大都处于正头顶，也说明大地是弯曲的。
他由此想到了一个测量地球周长的方法，于是他做了一个简单实验，如下图 2 所示。在夏至日正午，阳光直射塞伊尼的井底。而在同一天同一时刻，在北边的亚历山大，埃拉托色尼在地上立了一根直杆，通过直杆投下的影子，发现阳关与杆子的夹角约为 \(7^\circ\) 。
从图 2 可以看到，阳光与杆子形成的角度正好对应于 Syene 和 Alexandria 之间在地球中心张开的圆心角。而那个大圆的长度等于地球的周长，我们有
\[ \frac{7^\circ}{360^\circ} \approx \frac{d_{sa}}{\mathrm{circumference}}. \]
这里 \(d_{sa}\) 表示 Syene 和 Alexandria 之间的距离，于是地球周长约为：
\[ \mathrm{circumference} \approx 50 d_{sa} \]
根据上式，还需要知道 Syene 和 Alexandria 之间的实际距离，才能算出地球的周长。而那时还没有测量远距离两地点间长度的手段，他从商队那里知道两个城市间的实际距离大概是 \(5000\) 斯塔德( Stade )，从而得出地球周长为 \(250,000\) 斯塔德。虽然斯塔德的确切长度我们现时已经无法考证（现在雅典的斯塔德一般是指 \(185\) 米），但是现在普遍认为他推断出的距离应该在 \(39,690\) 千米到 \(46,620\) 千米之间，这个数字与今日实测数（赤道周长 \(40, 076\) 公里，子午线周长 \(40,009\) 公里）相差不到 \(1 \%\) 5。
仅凭一根木棍的影子，就能得到如此接近真实值的结果，实在令人惊叹！
我的春分实验
去年在科普书上看到这个实验，于是马上开始动手实验。由于所在城市深圳位于北回归线以南，在2025年6月5日这天正午，太阳位于头顶正上方，立杆无影。但6月5日当天是阴天，而且没有一个其他地方的朋友测量所在地影子情况，于是只能等到秋分日。但秋分日前后几天下雨，又错过了测量。
等到今年 3 月 20 日，春分日时，天公作美，拍到了满意的照片，如下图 3 所示。春分 6 这天，太阳直射赤道，这一天太阳光与赤道面平行。也就是说这一天，如果在春分日当地时间正午时测量杆子影子，就可以直接得到当地纬度。注意日常所说的中午 12 点并不一定是真正的太阳正午，可以通过 timeanddate 这个网站查询真正的当地时间正午。
\[ \theta = \arctan \left( \frac {\mathrm{shadow}}{\mathrm{stick}} \right) \approx \arctan \left( \frac{42}{102} \right) \approx 22.38^\circ \]
上图 3 中用软件测量的角度为 \(20^\circ\) ，而用卷尺测量计算得到的角度为 \(22.38^\circ\) ， 而深圳所在纬度是 \(22.545^\circ\) ，这个数值已经非常精确了！
考虑到3月20日是工作日，而3月21日正午时阴天测量条件不理想，在3月22日周日正午再次进行了一次测量，如下图 4 所示。按照 12:30 时，太阳高度角为 \(68.1^\circ\) ， 误差在 \(1.5^\circ\) 之内，同样比较精确。
复刻埃拉托色尼的实验还需要一个距离，这里我借助 Google 地图，找到了与深圳经度相同，位于赤道附近的一个地方，测量约为 \(2,510 \mathrm{km}\) ，如下图 5 所示：
于是有下列方程：
\[ \frac{\arctan \left( \frac{42}{102} \right)}{2\pi} \approx \frac{2,510\,\mathrm{km}}{\mathrm{circumference}}. \]
整理可得：
\[ \mathrm{radius} = \frac{\mathrm{circumference}}{2\pi} \approx \frac{2,510 \,\mathrm{km}}{\arctan \left( \frac{42}{102} \right)} \approx 6425.89 \, \mathrm{km}. \]
而地球真实值约为 \(6371 \, \mathrm{km}\) ，误差小于 \(0.01\%\) ，实在是太精确了！当然这里主要是 Google 地图计算得到的距离值非常精确。
总结
我们只需要利用最基本的三角学知识和日常生活中的影子，就可以测量地球这样一个巨大的天体。而令人惊叹的是：在公元前三世纪，埃拉托斯特尼已经利用这一思想测出了地球大小；两千多年后，普通人借助手机、网络和简单拍照，仍然可以在家门口重复这一经典实验。
这也是数学最迷人的地方之一 —— 一根木棍、一道影子，再加上一点几何学知识，就足以丈量整个地球。