一道初中数学极值题的多种解法：柯西不等式、几何法、函数法详解
By Long Luo
最近在短视频 App 里刷到不少中学数学题讲解，才发现现在的初中数学题，很多已经不只是“会算”这么简单了，背后往往还藏着不等式、函数、几何直觉等不同层面的思维训练。
当然，这也不算奇怪，几十年前的 IMO 试题放现在也就普通题。很多经典数学竞赛题，随着时间推移和教学资源普及，早已从高阶技巧逐渐变成了基础训练的一部分。
前几天我就反复刷到一道“求极值”的题，看起来不难，但这道题其实非常适合拿来练习数学直觉。
已知 \(x + y = 5\) ，求 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3}\) 的最大值。
这道题的有趣之处在于可以用很多完全不同的思路来解决，有的解法只需要代数变形和基本不等式，但也可以使用几何视角、函数思想。
下面就道题为例，把几种典型解法都梳理一遍，也顺便重新锻炼一下自己的数学思维。
解法一：常规解法
由 \(y = 5 - x\) ，原式变成 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，要保证根号有意义，所以 \(−1 \le x \le 8\) 。
设 \(S = \sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，两边平方得 \(S^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{8 - x})^2\) 。
展开可得：
\[ \begin{aligned} S^2 & = (x + 1) + (8 - x) + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-x^2 + 7x + 8} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-(x - \frac {7}{2})^2 + \frac {81}{4}} \end{aligned} \]
因此 \(S^2 \le 9 + 2 \times \dfrac {9}{2} = 18\) ，于是 \(S \le 3 \sqrt 2\) 当且仅当 \(x = \dfrac {7}{2}\) 时取等号。
故最大值为 \(3\sqrt2\) 。
解法二：均值不等式
设 \(S = \sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3}\) ，两边平方得 \(S^2 = (\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3})^2\) 。
展开可得：
\[ S^2 = (x + 1) + (y + 3) + 2 \sqrt {(x + 1)(y + 3)} = 9 + 2 \sqrt {(x + 1)(y + 3)} \]
由均值不等式( \(\textit{AM-GM inequality}\) )，则有：
\[ (x + 1)(y + 3) \le \left( \frac {(x + 1) + (y + 3)}{2} \right)^2 = \left( \frac {9}{2} \right)^2 = \frac{81}{4} \]
因此 \(S^2 \le 9 + 2 \times \dfrac {9}{2} = 18\) ，于是 \(S \le 3 \sqrt 2\) 当且仅当 \(x + 1 = y + 3\) 时取等。
联立 \(x + y=5, \ x + 1 = y + 3\) 解得 \(x = \dfrac {7}{2}, \ y = \dfrac {3}{2}\) 。
故最大值为 \(3 \sqrt 2\) 。
解法三：几何法
令 \(a = \sqrt {x + 1}, \ b = \sqrt {y + 3}\) ，则 \(a^2 + b^2 = 9\) 。
这表示点 \((a, b)\) 位于第一象限内、半径为 \(3\) 的圆 \(a^2 + b^2 = 9\) 上。
而原式 \(S = a + b\) 表示直线族 \(a + b = t\) 的截距和。
当直线 \(a + b = t\) 向外平移并与圆相切时， \(t\) 取得最大值，如下图 1 所示。由于切点处法向量方向为 \((1, 1)\) 因此切点必在 \(a = b\) 上。
代入 \(a^2 + b^2 = 9\) 得 \(2a^2 = 9\) ，所以 \(a = b = \frac {3}{\sqrt 2}\) 。
因此 \(S = a + b = 3 \sqrt 2\) ，故最大值为 \(3 \sqrt 2\) 。
解法四：换元法
令 \(a = \sqrt {x + 1}, \ b = \sqrt {y + 3}\) ，则 \(a^2 = x + 1, \ b^2 = y + 3\) 。
由于 \((x + 1) + (y + 3) = 9\) ，所以 \(a^2 + b^2 = 9\) 。
原式变为 \(S = a + b\) ，于是问题转化为：
在条件 \(a^2 + b^2=9, \ a \ge 0, \ b \ge 0\) 下，求 \(a + b\) 的最大值。
由恒等式 \((a + b)^2 \le 2(a^2 + b^2)\) 得 \((a + b)^2 \le 2 \times 9 = 18\) 。
因此 \(a + b \le 3 \sqrt 2\) ，即 \(S \le 3 \sqrt 2\) 。
当且仅当 \(a = b\) 时取等号，即 \(\sqrt {x + 1} = \sqrt {y + 3}\) ，所以 \(x + 1 = y + 3\) ，再结合 \(x + y = 5\) 解得 \(x = \frac {7}{2}, \ y = \frac {3}{2}\) 。
故最大值为 \(3 \sqrt2\) 。
解法五：导数法
由 \(y = 5 - x\) ，原式可写为 \(S = \sqrt{x + 1} + \sqrt {8 - x}\) 。
设函数 \(f(x) = \sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，其定义域为 \(-1 \le x \le 8\) 。
求导可得：
\[ f'(x) = \frac {1}{2 \sqrt {x + 1}} - \frac {1}{2 \sqrt{8 - x}} \]
令 \(f'(x) = 0\) ，则有 \(\dfrac {1}{\sqrt {x+1}} = \dfrac {1}{\sqrt{8 - x}}\) 。
因此 \(x + 1 = 8 - x\) 解得 \(x = \dfrac{7}{2}\) ，此时 \(y = 5 - \dfrac{7}{2} = \dfrac {3}{2}\) 。
代回原式： \(S = \sqrt {\dfrac {7}{2} + 1} + \sqrt {\dfrac {3}{2} + 3} = 2 \sqrt {\dfrac {9}{2}}= 3 \sqrt 2\) 。
再由导数符号可知，函数 \(f(x)\) 先增后减，因此该点为最大值点。
故最大值为 \(3\sqrt2\) 。
解法六：柯西不等式法( \(\textit{Cauchy-Schwarz inequality}\) )
这道题最快的方法是使用柯西不等式秒解。
根据柯西不等式( \(\textit{Cauchy-Schwarz inequality}\) )，对于任意实数 \(a, b, c, d\) ，有 \((a^2 + b^2)(c^2 + d^2) \geq (ac + bd)^2\) 当且仅当 \(ad = bc\) 时等号成立。
可得：
\[ \begin{aligned} S^2 & = 1 \times \sqrt {x + 1} + 1 \times \sqrt {y + 3} \\ & \le (1 + 1) \times \left ( (x + 1) + (y + 3) \right ) \\ & = 2 \times 9 \\ & = 18 \end{aligned} \]
当且仅当 \(x + 1 = y + 3\) 时取等号，故最大值为 \(S = 3 \sqrt 2\) 。
解法七：琴生不等式法( Jensen’s inequality )
考虑函数 \(f(t) = \sqrt t, \ t > 0\) 由于 \(f(t)\) 是凹函数( \(\textit{Concave function}\) )，根据琴生不 等式( \(\textit{Jensen's inequality}\) )，则有：
\[ \frac {f(x + 1) + f(y + 3)}{2} \le f \left( \frac {(x + 1) + (y + 3)}{2} \right) \]
即 \(\dfrac {\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3}}{2} \le \sqrt {\dfrac {9}{2}}\) 。
两边乘以 \(2\) 得 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3} \le 2 \sqrt {\dfrac {9}{2}} = 3 \sqrt 2\) 当且仅当 \(x + 1 = y + 3\) 时取等号。
联立 \(x + y = 5\) 可得 \(x = \dfrac {7}{2}, \ y = \dfrac {3}{2}\) 。
故最大值为 \(3 \sqrt 2\) 。
总结
这道题表面上只是一个简单的根式求最值问题，但真正有意思的地方不在于最后算出这个答案，而在于它可以被很多种不同的数学语言描述。
从最基础的代数变形，到均值不等式、几何直观、柯西不等式，再到函数凹凸性，本质上都在说明同一件事：当两个非负量的和固定时，它们越均匀，对应的根式和往往越大。
放到这道题里，就是把看成两个和为定值的量，一旦看出这一层结构，问题其实就已经接近结束了——最大值通常出现在它们相等的时候。