二维傅里叶变换(2D Fourier Transforms)可视化

By Long Luo

前言

前几天看了一个介绍 核磁共振成像(MRI) 原理的视频:三维演示磁共振成像(MRI)原理 ,加上自己也曾做过 \(2\) 次核磁共振,一直很好奇其原理,所以花了点时间弄懂了核磁共振成像原理。

在这篇文章我们不详细介绍核磁共振成像原理,只关注其成像部分,也就是根据获取到的空间频率来还原图像,也就是二维傅里叶逆变换(\(\textit{2D Inverse Fourier Transforms}\))

关于傅里叶变换及傅里叶逆变换,可以参考之前写过的一篇文章:傅里叶变换 。傅里叶变换本质上就是换基,推荐这篇文章:我理解的傅里叶变换

一维傅里叶变换(1D Fourier Transform)

对于非周期函数,我们把它的周期看作无穷大。基频 \(\omega_0=\frac{2\pi}{T}\) 则趋近于无穷小,又因为基频相当于周期函数的傅里叶级数中两个相邻频率的差值 \((n+1)\omega_0-n\omega_0\),我们可以把它记作 \(\Delta\omega\) 或者微分 \(d\omega\)\(n\omega_0\) 则相当于连续变量 \(\omega\)。这样就得到了针对非周期函数的频谱函数如下:

\[ c_{n}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jwt}dt \]

我们会发现这里的 \(c_n\) 是趋于 \(0\) 的。

将它代入 \(f(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}c_ne^{jn\omega_0t}\)

得到:

\[ f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jwt}dt)e^{j\omega t}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt)e^{j\omega t}d\omega \]

则非周期函数的傅里叶变换定义为

\[ F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt \]

我们可以发现 \(c_n=\frac{d\omega}{2\pi}F(\omega)\) ,即我们选取了信号幅值在频域中的分布密度 \(F(\omega)\) 来表示傅里叶变换,而不是相应频率的信号幅值大小 \(c_n\) 。因为如果选择后者,那傅里叶变换的函数值就都是无穷小了,这显然对我们没有任何帮助。

我们一般也用频率 \(f\) 来进行傅里叶变换:

\[ F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j2\pi f t}dt \]

在数学上 \(f(t)\) 大多是在时域 \(t\) 上是连续的,但是由于计算机采集信号在时域中是离散的,所以实际应用中的 \(f(t)\) 都是其经采样处理后得到的 \(f_s(t)\)

同时,计算机也只能计算出有限个频率上对应的幅值密度,即 \(f\) 也是离散的。

\(\textit{DFT(Discrete Fourier Transform)}\) 也就是 \(t\)\(f\) 都是离散的傅里叶变换。

一维离散傅里叶变换

采样(Sampling)

首先引入冲激函数(也叫 \(\textit{Dirac}\) 函数)的概念。

\(t \neq 0\)\(\delta(t)=0\)\(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1\)

根据它的定义,我们可知 \(\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0)\) 。这是 \(\textit{Dirac}\) 函数的重要性质,容易看出,它可以筛选出 \(f(t)\)\(t_0\) 处的函数值,即起到采样的作用。

但是 \(\textit{Dirac}\) 函数一次只能选取一个函数值,所以我们将很多个采样点不同的 \(\textit{Dirac}\) 函数叠加起来,就可以实现时域上的采样了。这样叠加的函数被称为梳状函数,表达式为:

\(\delta_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)\) ,其中 \(T_s\) 为采样周期。

将时域上的连续信号与它相乘,即可得到 \(f_s=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-nT_s)\)

时域离散化计算

对于采样得到的 \(x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s)\) 进行傅里叶变换。

根据傅里叶变换的定义

\[ X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt \]

\(X_s(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s))e^{-j\omega t}dt\)

交换积分与求和顺序,得到

\[ X_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s)e^{-jwt}dt \]

根据 \(\textit{Dirac}\) 函数的筛选特性, \(X_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)e^{-jwnT_s}\)

这样就完成了我们的时域离散化计算。

频域离散化计算

时域离散化得到的结果 \(X_s(\omega)\) 在频域上仍是连续的,而计算机只能求取有限个 \(\omega\) 对应的频谱密度。此外, \(X_s(\omega)\) 中的时域采样次数 \(N\) 为无穷大,实际应用中显然不会进行无穷多次时域采样。

我们首先解决 \(N\) 为无穷大的问题。对于连续信号 \(x(t)\) 进行 \(N\) 次(\(N\) 为有限值)采样,采样周期为 \(T_s\) 。然后对采样得到的信号进行时域上的周期延拓(延拓至正负无穷),这样我们就得到了一个周期为 \(T_0=NT_s\) 的函数。对于周期函数而言,它的频谱密度函数是离散化的,这样我们就成功把频域也进行了离散化。具体计算方法如下:

在一个周期内,离散信号的表达式为 \(x_s(t)=\sum_{n=0}^{N-1}x(t)\delta(t-nT_s)\)

离散信号的傅里叶级数:

\(X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T}(\sum_{n=0}^{N-1}x(t)\delta(t-nT_s))e^{-jkw_0t}dt\) ,其中 \(\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}\)

交换积分和求和次序,

\(X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=0}^{N-1}\int_{0}^{T}x(t)\delta(t-nT_s)e^{-jk\omega_0t}dt\)

根据狄拉克函数的筛选特性, \(X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=0}^{N-1}x(nTs)e^{-jk\omega_0nT_s}\)

\[ X(k\omega_0)=\frac{1}{NT_s}\sum_{n=0}^{N-1}x(nTs)e^{-j\frac{2\pi}{NT_s}knT_s}=\frac{1}{NT_s}\sum_{n=0}^{N-1}x(nTs)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]

为更加简明,令 \(X[k]=X(k\omega_0)T_s\)\(x[n]=x(nT_s)\),则

\[ X[k]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn} \]

其中:\(N\) 为采样总点数,\(n\) 为当前采样点,\(x[n]\) 在时域 \(n\) 的信号值,\(k\) 为当前频率值(从 \(0\) Hz 到 \(N-1\) Hz),\(X[k]\) \(\textit{DFT}\) 的结果(是一个复数,包含幅度和相位信息)。

一维傅里叶变换可视化

square wave
FFT and IFFT
440Hz Music
FFT 440Hz
Mixed Music
FFT Mixed Music

二维连续傅里叶变换(2D Fourier Transforms)

二维连续傅里叶变换

\[ F(u,v) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy \]

二维连续傅里叶逆变换

\[ f(x,y) = \frac{1}{4\pi^2} \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv \]

二维离散傅里叶变换

二维离散傅里叶变换

\[ F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} \]

二维离散傅里叶逆变换

\[ f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})} \]

傅里叶变换特征参数

\[ F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v) \]

频谱/幅度谱

\[ |F(u,v)|=\sqrt{R^2(u,v)+I^2(u,v)} \]

\[ P(u,v)=R^2(u,v)+I^2(u,v) \]

相位谱

\[ \psi (u,v)=arctan\frac{I(u,v)}{R(u,v)} \]

参考资料