9种求斐波那契数(Fibonacci Numbers)的算法

By Long Luo

斐波那契数列(Fibonacci sequence),又称黄金分割数列,因数学家莱昂纳多·斐波那契(Leonardoda Fibonacci)以兔子繁殖为例子而引入,故又称为“兔子数列”,指的是这样一个数列:0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,2330, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……

这个数列从第3项开始,每一项都等于前两项之和。

斐波那契数的边界条件是F(0)=0F(0)=0F(1)=1F(1)=1。当n>1n>1时,每一项的和都等于前两项的和,因此有如下递推关系:

F(n)=F(n1)+F(n2)F(n)=F(n-1)+F(n-2)

算法一: 递归(recursion)

显而易见斐波那契数列存在递归关系,很容易想到使用递归方法来求解:

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public class Solution {

public static int fib(int n) {
if (n <= 1) {
return n;
}

return fib(n - 1) + fib(n - 2);
}

public static void main(String[] args) {
System.out.println("1 ?= " + fib(1));
System.out.println("1 ?= " + fib(2));
System.out.println("2 ?= " + fib(3));
}
}

复杂度分析:

时间复杂度:T(n)=T(n1)+T(n2)T(n)=T(n-1)+T(n-2),可见是指数级的。
我们可以写出其实现递归树,如下所示:

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						fib(5)   
/ \
fib(4) fib(3)
/ \ / \
fib(3) fib(2) fib(2) fib(1)
/ \ / \ / \
fib(2) fib(1) fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)
/ \
fib(1) fib(0)

可以看出其做了很多重复性的计算,因此对于数值比较大时,其性能是灾难性的。

空间复杂度:O(n)O(n),函数递归栈。

算法二: 动态规划(dynamic programming)

因为斐波那契数列存在递推关系,因为也可以使用动态规划来实现。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系,边界条件为F(0)F(0)F(1)F(1)

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class Solution {
public static int fib(int n) {
/* Declare an array to store Fibonacci numbers. */
int f[] = new int[n + 2]; // 1 extra to handle case, n = 0
int i;

/* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/
f[0] = 0;
f[1] = 1;

for (i = 2; i <= n; i++) {
/* Add the previous 2 numbers in the series and store it */
f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
}

return f[n];
}
}

复杂度分析:

时间复杂度:O(n)O(n)
空间复杂度:O(n)O(n)

算法三:记录值的动态规划实现

针对算法二,我们可以将计算好的值存储起来以避免重复运算,如下所示:

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// Initialize array of dp
public static int[] dp = new int[10];

public static int fib(int n) {
if (n <= 1) {
return n;
}

// Temporary variables to store values of fib(n-1) & fib(n-2)
int first, second;

if (dp[n - 1] != -1) {
first = dp[n - 1];
} else {
first = fib(n - 1);
}

if (dp[n - 2] != -1) {
second = dp[n - 2];
} else {
second = fib(n - 2);
}

// Memoization
return dp[n] = first + second;
}

复杂度分析

时间复杂度: O(n)O(n)
空间复杂度: O(n)O(n)

算法四: 空间优化的动态规划(Space Optimized)

算法二时间复杂度和空间复杂度都是O(n)O(n),但由于F(n)F(n)只和F(n1)F(n-1)F(n2)F(n-2)有关,因此可以使用滚动数组思想把空间复杂度优化成O(1)O(1)。代码如下所示:

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class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return n;
}
int p = 0, q = 0, r = 1;
for (int i = 2; i <= n; ++i) {
p = q;
q = r;
r = p + q;
}
return r;
}
}

复杂度分析:

时间复杂度:O(n)O(n)
空间复杂度:O(1)O(1)

算法五:矩阵幂

使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度

首先我们可以构建这样一个递推关系:

[1110][F(n)F(n1)]=[F(n)+F(n1)F(n)]=[F(n+1)F(n)]\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n−1) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(n)+F(n−1) \\ F(n) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(n+1) \\ F(n) \\ \end{bmatrix}

因此:

[F(n+1)F(n)]=[1110]n[F(1)F(0)]\left[ \begin{matrix} F(n + 1)\\ F(n) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] ^n \left[ \begin{matrix} F(1)\\ F(0) \end{matrix} \right]

令:

M=[1110]M = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]

因此只要我们能快速计算矩阵MMnn次幂,就可以得到F(n)F(n)的值。如果直接求取MnM^n,时间复杂度是O(n)O(n)

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class Solution {
public static int fib(int n) {
int F[][] = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}};
if (n == 0) {
return 0;
}
power(F, n - 1);
return F[0][0];
}

/* Helper function that multiplies 2 matrices F and M of size 2*2, and
puts the multiplication result back to F[][] */
public static void multiply(int F[][], int M[][]) {
int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];

F[0][0] = x;
F[0][1] = y;
F[1][0] = z;
F[1][1] = w;
}

/* Helper function that calculates F[][] raise to the power n and puts the
result in F[][]
Note that this function is designed only for fib() and won't work as general
power function */
public static void power(int F[][], int n) {
int i;
int M[][] = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}};

// n - 1 times multiply the matrix to {{1,0},{0,1}}
for (i = 2; i <= n; i++) {
multiply(F, M);
}
}
}

复杂度分析

时间复杂度:O(n)O(n),在于计算矩阵的nn次幂。
空间复杂度:O(1)O(1)

算法六:矩阵快速幂(分治快速幂运算)

算法五的时间复杂度是O(n)O(n),但可以降低到O(logn)O(\log n),因为可以使用分治算法加快幂运算,加速这里MnM^n的求取。如下所示:

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class Solution {
public int fib(int n) {
if (n < 2) {
return n;
}
int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
int[][] res = pow(q, n - 1);
return res[0][0];
}

public int[][] pow(int[][] a, int n) {
int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
while (n > 0) {
if ((n & 1) == 1) {
ret = multiply(ret, a);
}
n >>= 1;
a = multiply(a, a);
}
return ret;
}

public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
int[][] c = new int[2][2];
for (int i = 0; i < 2; i++) {
for (int j = 0; j < 2; j++) {
c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
}
}
return c;
}
}

复杂度分析

时间复杂度:O(logn)O(\log n)
空间复杂度:O(logn)O(\log n),函数栈。

算法七:斐波那契数新算法求解

这是另外一种求解斐波那契数的算法,证明如下:

1. 矩阵形式的通项

(Fn+2Fn+1)=(1,11,0)(Fn+1Fn)\begin{pmatrix} F_{n+2}\\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F_{n+1}\\ F_{n} \end{pmatrix}

不妨令:A=(1,11,0)A=\begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}F1=1F_1=1F0=0F_0=0,证明:

An=(Fn+1,FnFn,Fn1)A^n=\begin{pmatrix} F_{n+1},&F_n\\ F_n,&F_{n-1} \end{pmatrix}

采用数学归纳法进行证明,

1. 当k=1k=1时:

A1=(F2,F1F1,F0)A^1=\begin{pmatrix}F_{2},&F_1 \\ F_1,&F_{0} \end{pmatrix}

显然成立!

2. 当k=nk=n时:

An+1=AnA=(Fn+1,FnFn,Fn1)(1,11,0)=(Fn+2,Fn+1Fn+1,Fn)A^{n+1}=A^n\cdot A=\begin{pmatrix} F_{n+1},&F_n \\ F_n,&F_{n-1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} 1,&1\\ 1,&0 \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} F_{n+2},&F_{n+1}\\ F_{n+1},&F_{n} \end{pmatrix}

2. 偶数项和奇数项

因为An=(Fn+1,FnFn,Fn1)A^n=\begin{pmatrix}F_{n+1},&F_n \\ F_n,&F_{n-1} \end{pmatrix},则有:

A2m=AmAmA^{2m} = A^m \cdot A^m

因为:

A2m=(F2m+1,F2mF2m,F2m1)A^{2m}= \begin{pmatrix} F_{2m+1}, &F_{2m} \\ F_{2m}, &F_{2m-1}\end{pmatrix}

所以:

A2m=(Fm+1,FmFm,Fm1)(Fm+1,FmFm,Fm1)=(Fm+12+Fm2,Fm(Fm+2Fm1)Fm(Fm+2Fm1),Fm2+Fm12)A^{2m}= \begin{pmatrix} F_{m+1},&F_m\\ F_m,&F_{m-1} \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} F_{m+1},&F_m\\ F_m,&F_{m-1} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} F^2_{m+1}+F^2_{m},&F_m(F_m+2F_{m-1})\\ F_m(F_m+2F_{m-1}),&F^2_m+F^2_{m-1} \end{pmatrix}

所以有:

F2m+1=Fm+12+Fm2F2m=Fm(Fm+2Fm1)F_{2m+1}=F^2_{m+1}+F^2_{m} \\ F_{2m}=F_m(F_m+2F_{m-1})

3. 矩形形式求解Fib(n)

因为涉及到矩阵幂次,考虑到数的幂次的递归解法:

nn为奇数:n=2k+1n=2k+1

Fn=F2k+1=Fk+12+Fk2Fn+1=F2k+2=Fk+1(Fk+1+2Fk)F_n =F_{2k+1}= F^2_{k+1}+F^2_{k} \\ F_{n+1}=F_{2k+2}=F_{k+1}(F_{k+1}+2F_k)

nn为偶数:n=2kn=2k

Fn=F2k=Fk(Fk+2Fk1)=Fk(Fk+2(Fk+1Fk))Fn+1=F2k+1=Fk+12+Fk2F_n=F_{2k}=F_k(F_k+2F_{k-1})=F_k(F_k+2(F_{k+1}-F_k)) \\ F_{n+1}=F_{2k+1}=F^2_{k+1}+F^2_{k}

根据上述公式,我们可以写出如下代码:

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public static int MAX = 1000;
public static int f[];

// Returns n'th fibonacci number using
// table f[]
public static int fib(int n) {
if (n == 0) {
return 0;
}

if (n == 1 || n == 2) {
return (f[n] = 1);
}

// If fib(n) is already computed
if (f[n] != 0) {
return f[n];
}

int k = (n & 1) == 1 ? (n + 1) / 2 : n / 2;

// Applying above formula [Note value n&1 is 1 if n is odd, else 0.
f[n] = (n & 1) == 1 ? (fib(k) * fib(k) + fib(k - 1) * fib(k - 1)) : (2 * fib(k - 1) + fib(k)) * fib(k);

return f[n];
}

复杂度分析

时间复杂度:O(logn)O(\log n)
空间复杂度:O(1)O(1)

算法八:通项公式(Using Formula)

斐波那契数F(n)F(n)是齐次线性递推,根据递推方程F(n)=F(n1)+F(n2)F(n)=F(n-1)+F(n-2),可以写出这样的特征方程:

x2=x+1x^2=x+1

求得x1=1+52x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}。设通解为F(n)=c1x1n+c2x2nF(n)=c_1x_1^n+c_2x_2^n,代入初始条件 F(0)=0F(0)=0F(1)=1F(1)=1,得c1=15c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}c2=15c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}

因此斐波那契数的通项公式如下:

F(n)=15[(1+52)n(152)n]F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right]

得到通项公式之后,就可以通过公式直接求解第nn项。

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class Solution {
public int fib(int n) {
double sqrt5 = Math.sqrt(5);
double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n);
return (int) Math.round(fibN / sqrt5);
}
}

复杂度分析

时间复杂度: O(logn)O(logn)
空间复杂度: O(1)O(1)

算法九:暴力法

如果不需要求解特别大的数值,又对时间敏感的话,可以有投机取巧的方法:

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class Solution {
public:
int fib(int n) {
int nums[31]={0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,987,1597,2584,4181,6765,10946,17711,28657,46368,75025,121393,196418,317811,514229,832040};
return nums[n];
}
};

复杂度分析

时间复杂度: O(1)O(1)
空间复杂度: O(n)O(n)

总结

通过上述,我们使用了9种算法来求解斐波那契数列,这9种方法综合了递归、迭代、数学等各方面知识,值得认真学习!