5分钟掌握矩阵乘法的Strassen算法

By Long Luo

机器学习中需要训练大量数据,涉及大量复杂运算,例如卷积、矩阵等。这些复杂运算不仅多,而且每次计算的数据量很大,如果能针对这些运算进行优化,可以大幅提高性能。

一、矩阵乘法

假设 \(A\)\(m \times p\) 的矩阵,\(B\)\(p \times n\) 的矩阵,那么称 \(m \times n\) 的矩阵 \(C\) 为矩阵 \(A\)\(B\) 的乘积,记作 \(C = AB\),称为矩阵积(\(\textit{Matrix Product}\))。

其中矩阵 \(C\) 中的第 \(i\) 行第 \(j\) 列元素可以表示为:

\[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{p}{a_{ik}b_{kj}} = a_{i1}b_{1j} + a_{i2}b_{2j} + \cdots + a_{ip}b_{pj} \]

如下图所示:

@Figure 1. Matrix Multiplication | center

假如在矩阵 \(A\) 和矩阵 \(B\) 中,\(m=p=n=N\),那么完成 \(C=AB\) 需要多少次乘法呢?

  1. 对于每一个行向量 \(r\) ,总共有 \(N\) 行;
  2. 对于每一个列向量 \(c\) ,总共有 \(N\) 列;
  3. 计算它们的内积,总共有 \(N\) 次乘法计算。

综合可以看出,矩阵乘法的算法复杂度是:\(O(N^3)\)

二、Strassen算法

那么有没有比 \(O(N^{3})\) 更快的算法呢?

1969年,Volker Strassen 提出了第一个算法时间复杂度低于 \(O(N^{3})\) 矩阵乘法算法,算法复杂度为 \(O(n^{log_{2}^{7}})=O(n^{2.807})\) 。从下图可知,\(\textit{Strassen}\) 算法只有在对于维数比较大的矩阵( \(N > 300\) ) ,性能上才有很大的优势,可以减少很多乘法计算。

@Figure 2. x^3 vs. x^2.807 | center

\(\textit{Strassen}\) 算法证明了矩阵乘法存在时间复杂度低于 \(O(N^{3})\) 的算法的存在,后续学者不断研究发现新的更快的算法,截止目前时间复杂度最低的矩阵乘法算法是 Coppersmith-Winograd 方法的一种扩展方法,其算法复杂度为 \(O(n^{2.375})\)

三、Strassen原理详解

假设矩阵 \(A\) 和矩阵 \(B\) 都是 \(N \times N (N = 2^{n})\) 的方矩阵,求 \(C = AB\) ,如下所示:

\[ \begin{aligned} A = \left [\begin{matrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{matrix} \right] \\ B = \left [\begin{matrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \\ \end{matrix} \right] \\ C = \left [\begin{matrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \\ \end{matrix} \right] \end{aligned} \]

其中

\[ \begin{bmatrix} C_{11} & C_{12} \\ C_{21} & C_{22} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} \]

矩阵 \(C\) 可以通过下列公式求出:

\[ \begin{aligned} C_{11} = A_{11} \cdot B_{11} + A_{12} \cdot B_{21} \\ C_{12} = A_{11} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{21} \\ C_{21} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{21} \\ C_{22} = A_{21} \cdot B_{12} + A_{22} \cdot B_{22} \\ \end{aligned} \]

从上述公式我们可以得出,计算 \(2\)\(n \times n\) 的矩阵相乘需要 \(2\)\(\frac{n}{2} \times \frac{n}{2}\) 的矩阵 \(8\) 次乘法和 \(4\) 次加法。

我们使用 \(T(n)\) 表示 \(n \times n\) 矩阵乘法的时间复杂度,那么我们可以根据上面的分解得到下面的递推公式:

\[ T(n) = 8 \times T(\frac{n}{2}) + O(n^{2}) \]

其中: 1. \(8T(\frac{n}{2})\) 表示 \(8\) 次矩阵乘法,而且相乘的矩阵规模降到了 \(\frac{n}{2}\)。 2. \(O(n^{2})\) 表示 \(4\) 次矩阵加法的时间复杂度以及合并矩阵 \(C\) 的时间复杂度。

最终可计算得到 \(T(n)=O(n^{log_{2}^{8}})=O(n^{3})\)

可以看出每次递归操作都需要 \(8\) 次矩阵相乘,而这正是瓶颈的来源。相比加法,矩阵乘法是非常慢的,于是我们想到能不能减少矩阵相乘的次数呢?

答案是当然可以!!!

\(\textit{Strassen}\) 算法正是从这个角度出发,实现了降低算法复杂度!

Strassen实现步骤

实现步骤可以分为以下 \(4\) 步: 1. 按上述方法将矩阵 \(A, B, C\) 分解(花费时间 \(O(1)\)。 2. 如下创建 \(10\)\(\frac{n}{2} \times \frac{n}{2}\) 的矩阵 \(S_1, S_2, \cdots, S_{10}\) (花费时间 \(O(n^2)\)

\[ \begin{aligned} S_1 = B_{12} - B_{22} \\ S_2 = A_{11} + A_{12} \\ S_3 = A_{21} + A_{22} \\ S_4 = B_{21} - B_{11} \\ S_5 = A_{11} + A_{22} \\ S_6 = B_{11} + B_{22} \\ S_7 = A_{12} - A_{22} \\ S_8 = B_{21} + B_{22} \\ S_9 = A_{11} - A_{21} \\ S_{10} = B_{11} + B_{12} \end{aligned} \]

  1. 递归地计算 \(7\) 个矩阵积 \(P_1, P_2, \cdots, P_7\),每个矩阵 \(P_i\) 都是 \(\frac{n}{2} \times \frac{n}{2}\) 的。

\[ \begin{aligned} P_1 = A_{11} \cdot S_1 = A_{11} \cdot B_{12} - A_{11} \cdot B_{22} \\ P_2 = S_2 \cdot B_{22} = A_{11} \cdot B_{22} + A_{12} \cdot B_{22} \\ P_3 = S_3 \cdot B_{11} = A_{21} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{11} \\ P_4 = A_{22} \cdot S_4 = A_{22}\cdot B_{21} - A_{22} \cdot B_{11} \\ P_5 = S_5 \cdot S_6 = A_{11} \cdot B_{11} + A_{11} \cdot B_{22} + A_{22} \cdot B_{11} + A_{22} \cdot B_{22} \\ P_6 = S_7 \cdot S_8 = A_{12} \cdot B_{21} + A{12} \cdot B_{22} - A_{22} \cdot B_{21} - A_{22} \cdot B_{22} \\ P_7 = S_9 \cdot S_{10}= A_{11} \cdot B_{11} + A_{11} \cdot B_{12} - A_{21} \cdot B_{11} - A_{21} \cdot B_{12} \end{aligned} \]

注意,上述公式中只有中间一列需要计算。

  1. 通过 \(P_i\) 计算 \(C_{11}, C_{12}, C_{21}, C_{22}\),花费时间 \(O(n^2)\)

\[ \begin{aligned} C_{11} = P_5 + P_4 - P_2 + P_6 \\ C_{12} = P_1 + P_2 \\ C_{21} = P_3 + P_4 \\ C_{22} = P_5 + P_1 - P_3 - P_7 \end{aligned} \]

综合可得如下递归式:

\[ T(n) = \begin{cases} O(1) & n = 1 \\ 7T(\frac{n}{2}) + O(n^2) & n >1 \end{cases} \]

进而求出时间复杂度为:\(T(n) = O(n^{log_{2}^{7}})\)

四、Strassen算法的代码实现

我们以 MNN 中关于 \(\textit{Strassen}\) 算法源码实现来学习:https://github.com/alibaba/MNN/blob/master/source/backend/cpu/compute/StrassenMatmulComputor.cpp 。

StrassenMatrixComputor 提供了 \(3\)API 供调用:

API说明
_generateTrivalMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT);普通矩阵乘法计算
_generateMatMul(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth)Strassen算法的矩阵乘法
_generateMatMulConstB(const Tensor* AT, const Tensor* BT, const Tensor* CT, int currentDepth)Strassen算法的矩阵乘法(和MatMul的区别在于内存Buffer是否允许复用)

我们以 _generateMatMul 为例来学习下 \(\textit{Strassen}\) 算法如何实现,可以分成如下几步:

第一步:使用Strassen算法收益判断

在矩阵操作中,因为需要对矩阵的维数进行扩展,涉及大量读写操作,这些读写操作都需要大量循环,如果读写次数超出使用 \(\textit{Strassen}\) 乘法的收益的话,就得不偿失了,那么就使用普通的矩阵乘法。

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/* 
Compute the memory read / write cost for expand Matrix Mul need eSub*lSub*hSub*(1+1.0/CONVOLUTION_TILED_NUMBWR), Matrix Add/Sub need x*y*UNIT*3 (2 read 1 write)
*/

float saveCost = (eSub * lSub * hSub) * (1.0f + 1.0f / CONVOLUTION_TILED_NUMBWR) - 4 * (eSub * lSub) * 3 - 7 * (eSub * hSub * 3);
if (currentDepth >= mMaxDepth || e <= CONVOLUTION_TILED_NUMBWR || l % 2 != 0 || h % 2 != 0 || saveCost < 0.0f)
{
return _generateTrivialMatMul(AT, BT, CT);
}

第二步:分块

将矩阵 \(A, B, C\) \(3\) 个矩阵都分成 \(4\) 块:

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auto aStride = AT->stride(0); 
auto a11 = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
auto a12 = AT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
auto a21 = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * aStride * lSub;
auto a22 = AT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * aStride * lSub;
auto bStride = BT->stride(0);
auto b11 = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
auto b12 = BT->host<float>() + 0 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
auto b21 = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 0 * bStride * hSub;
auto b22 = BT->host<float>() + 1 * bUnit * lSub + 1 * bStride * hSub;
auto cStride = CT->stride(0); auto c11 = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
auto c12 = CT->host<float>() + 0 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;
auto c21 = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 0 * cStride * hSub;
auto c22 = CT->host<float>() + 1 * aUnit * eSub + 1 * cStride * hSub;

第三步:分治和递归

\(\textit{Strassen}\) 算法核心就是分治思想。这一步可以写成下列所示伪代码:

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1. If n = 1 Output A × B 
2. Else
3. Compute A11,B11, . . . ,A22,B22 % by computing m = n/2
4. P1 Strassen(A11,B12 - B22)
5. P2 Strassen(A11 + A12,B22)
6. P3 Strassen(A21 + A22,B11)
7. P4 Strassen(A22,B21 - B11)
8. P5 Strassen(A11 + A22,B11 + B22)
9. P6 Strassen(A12 - A22,B21 + B22)
10. P7 Strassen(A11 - A21,B11 + B12)
11. C11 P5 + P4 - P2 + P6
12. C12 P1 + P2
13. C21 P3 + P4
14. C22 P1 + P5 - P3 - P7
15. Output C
16. End If

例如其中的一步代码如下所示:

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{ 
// S1=A21+A22, T1=B12-B11, P5=S1T1
auto f = [a22, a21, b11, b12, xAddr, yAddr, eSub, lSub, hSub, aStride, bStride]() {
MNNMatrixAdd(xAddr, a21, a22, eSub * aUnit / 4, eSub * aUnit, aStride, aStride, lSub);
MNNMatrixSub(yAddr, b12, b11, lSub * bUnit / 4, lSub * bUnit, bStride, bStride, hSub);
};

mFunctions.emplace_back(f);
auto code = _generateMatMul(X.get(), Y.get(), C22.get(), currentDepth);
if (code != NO_ERROR)
{
return code;
}
}

递归执行,得到最终结果!

Updated By Long Luo at 19th, Aug. 2019 at Shenzhen.

参考文献