2011年清华大学自主招生数学题解析：一道经典数列题的解法与思路
By Long Luo
数学题中个人比较喜欢数列与不等式结合的题目，这类题主要对递推关系的观察、数列分析、不等式放缩和解题思路的构造都有较高要求，能体会到数学乐趣。今天来挑战一道2011年清华大学自主招生数学试题中的数列大题，这道题本身计算量不大，难度中等。本文将详细分析这道数列题的解题过程，希望能够帮助读者直观理解这类题目的解题思路。
- (本小题满分14分)
已知函数 \(f(x) = \dfrac{2x}{ax + b}\) ，\(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 。令 \(x_1 = \dfrac{1}{2}\) ，\(x_{n+1} = f(x_n)\) 。
求数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式；
证明 \(x_1x_2 \dots x_n > \dfrac{1}{2e}\) 。
第一问
解：由 \(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得：
\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]
易得：\(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表达式为：
\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]
先求出数列 \(\{ x_n \}\) 的前几项： \(x_1 = \dfrac{1}{2}，x_2 = \dfrac{2}{3}，x_3 = \dfrac{4}{5}，x_4 = \dfrac{8}{9}\) ，可以猜测 \(\{ x_n \}\) 通项公式为：
\[ x_n = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1} \label{1.2} \tag{1.2} \]
数学归纳法
我们可以使用数学归纳法来证明数列 \(\{ x_n \}\) 通项公式是 \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\) ：
当 \(n = 1\) ， \(x_1 = \dfrac {1}{2}\) 显然成立；
假设 \(n = k\) 时成立，即 \(x_k = \dfrac{2^{k-1}}{2^{k-1} + 1}\) ，则有：
\[ x_{k+1} = f(x_k) = \frac{2x_k}{x_k + 1} = \frac{2^k}{2^k + 1} \]
综合 1，2 即对于 \(n \in \mathbb{N}^*\) 数列 \(\{ x_n \}\) 通项公式为 \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\) 。
递推法
观察递推表达式 \(\eqref{1.1}\) ， 参考之前文章方法 2006年江西高考理科数学数列压轴题解析 ，可以对 \(\eqref{1.1}\) 两边取倒数则有：
\[ \frac {1}{x_{n+1}} = \frac {1}{2} + \frac{1}{2x_n} \]
适当变形：
\[ \frac {1}{x_{n+1}} - 1 = \frac {1}{2} \left( \frac{1}{x_n} - 1 \right) \]
故数列 \(\{ \dfrac{1}{x_n} - 1 \}\) 是公比为 \(\dfrac{1}{2}\) 的等比数列，数列首项为 \(1\) ，因此 \(\dfrac{1}{x_n} - 1 = \dfrac {1}{2^{n-1}}\) ，所以数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式为： \(x_n = \dfrac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1}\) 。
第二问
将数列 \(\{ x_n \}\) 代入有：
\[ x_1x_2 \cdots x_{n+1} = \frac {1}{2} \cdot \frac {2^1}{2^1 + 1} \cdot \frac{2^2}{2^2 + 1} \cdots \frac{2^n}{2^n + 1} > \frac{1}{2e} \]
只需要证明
\[ \frac {1}{1 + 2^{-1}} \cdot \frac {1}{1 + 2^{-2}} \cdots \frac{1}{1 + 2^{-n}} > \frac {1}{e} \]
两边同取对数，则有：
\[ \ln \frac {1}{1 + 2^{-1}} + \ln \frac {1}{1 + 2^{-2}} + \cdots + \ln \frac{1}{1 + 2^{-n}} > -1 \]
适当变形可得：
\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < 1 \]
根据常用不等式 \(\ln (1 + x) < x, \ (x > 0)\) ，有：
\[ \ln (1 + 2^{-1}) + \ln (1 + 2^{-2}) + \cdots + \ln (1 + 2^{-n}) < \sum_{k = 1}^{n}2^{-k} < \sum_{k = 1}^{+\infty}2^{-k} = 1 \]
故原命题得证。
伯努利不等式( \(\textit{Bernoulli's inequality}\) )
除了取对数法，还可以使用伯努利不等式( \(\textit{Bernoulli's inequality}\) ) 1 来进行放缩。
需要证明 \(\dfrac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2e\) ，存在：
\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) \]
由伯努利不等式，对任意整数 \(n \geq 1\) ，和任意实数 \(x \geq -1\) 有：
\[ (1+x)^{n} \geq 1 + nx； \]
于是有：
\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} = 2 \left( 1 +\frac{1}{2} \right) \left( 1 + \frac{1}{4} \right) \cdots \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right) < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^{n-1} + \cdots + 2 + 1} \]
根据自然常数 \(e\) 2 的定义 \(e = \lim _{n \to \infty}\left( 1 + \dfrac {1}{n} \right)^n\) ，易得：
\[ \frac{1}{x_1x_2 \cdots x_{n+1}} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n - 1} < 2 \left( 1 + \frac{1}{2^n} \right)^{2^n} < 2e. \]
总结
这道题第一问主要是考察数列取倒数分析递推公式，第二问考察自然常数 \(e\) 的定义及常见不等式的应用，难度不大。