我爱做题：2010年江西高考理科数学压轴题
By Long Luo
知乎上有个问题是高考数学最后一题可以有多难？ 1，而公认史上最难高考数学题就是 2008 年江西高考理科数学压轴题。2005 - 2014 年是江西自主命题，而江西卷也以题难计算量大著称，尤其是数学和理综。陶平生老师 是 2008 - 2011 年江西高考数学命题组长，参与了 2005 - 2011 年江西高考命题，他出江西数学卷时，是江西30多万学生被支配的恐惧！
作为一名来自十八线农村做题家，高考时赶上了江西自主命题，在考场上也体会到了数学和理综卷题目居然没做完没思路的恐惧！中学时没能感受到数学的乐趣，最近几年看了一些数学书之后，重新拾起了数学的乐趣，经常找些数学题来训练下我的思维，今天就来挑战一下 2010 年江西高考理科数学压轴题：
- （本小题满分14分） 证明以下命题：
- 对任意正整数 \(a\) ，都存在正整数 \(b, c\)（ \(b < c\) ）使得 \(a^2, b^2, c^2\) 为等差数列.
- 存在无穷多互不相似的三角形 \(\triangle_n\) ，其边长 \(a_n, b_n, c_n\) 为正整数且 \(a_n^2, b_n^2, c_n^2\) 成等差数列.
这道题其实是数论( \(\textit{Number theory}\) ) 2 背景，除了搞竞赛的同学，谁学过数论呢？这种构造性( \(\textit{Constructive proof}\) ) 3 题目，没有接触过类似题目的话，根本不知道如何下手。要是我在考场上也会一脸懵圈，甚至在几年前我也是一筹莫展，不过现在倒是有勇气挑战这类题目了！网上关于这道题的参考答案太简略了，主要是如何找到答案的构造不清楚。我花了比较长时间思考这道题，下面详细描述我是如何。
第一问
根据题意，正整数 \(a, b, c\) 且 \(b < c\) ，满足 \(a^2, b^2, c^2\) 为等差数列，即：
\[ b^2 - a^2 = c^2 - b^2 \Rightarrow 2b^2 = a^2 + c^2 \]
观察上式，我们可以得到 \(2\) 个推论：
- \(a < b < c\) ；
- \(a\) 和 \(c\) 要么都是偶数，要么都是奇数。
因为 \(a\) 为任意正整数，那么就从最简单的开始，不妨设 \(a = 1\) ，则有：
- 令 \(c = 1\) , 得 \(b = 1\) ，与 \(a < b < c\) 矛盾；
- 令 \(c = 3\) , 得 \(b = \sqrt {5}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 5\) , 得 \(b = \sqrt {13}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 7\) , 得 \(b = 5\) ，满足条件。
简单猜测实验得到一组要求的值： \(a = 1\) , \(b = 5\) , \(c = 7\) 。
再设 \(a = 2\) ，同理有：
- 令 \(c = 4\) , 得 \(b = \sqrt {10}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 6\) , 得 \(b = 2 \sqrt {5}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 8\) , 得 \(b = \sqrt {34}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 10\) , 得 \(b = 2 \sqrt {13}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 12\) , 得 \(b = \sqrt {74}\) ，与 \(b\) 为正整数矛盾；
- 令 \(c = 14\) , 得 \(b = 10\) ，满足条件。
通过实验又得到一组要求的值： \(a = 2\) , \(b = 10\) , \(c = 14\) 。
综合 \(a\) 为奇数和偶数的情况，猜想：
对于 \(\forall a = n \in \mathbb{N}^+\) ，令 \(b = 5a\) , \(c = 7a\) ，易得：
\[ 2 \cdot (5n)^2 = n^2 + (7n)^2 \]
故命题(1)得证。
第二问
相比命题(1)，我们需要找到无穷多组数 \({a, b, c}\) ，必须能构成三角形, 且满足 \(2b^2 = a^2 + c^2\) 。
关于三角形的 3 条边的关系，且满足 \(2b^2 = a^2 + c^2\) ，很容易想到直角三角形的 3 条边满足： \(z^2 = x^2 + y^2\) ，这里 z 为直角三角形斜边， x , y 为 2 条直角边。 但是我们要找的三角形是 \(a < b < c\) ，如何将两者联系起来呢？
由于直角三角形的勾股定理 ( Pythagorean )： \(z^2 = x^2 + y^2\) ，易得：
\[ 2z^2 = 2x^2 + 2y^2 = (y - x)^2 + (y + x)^2 \]
上式和题设条件很相似了。
令 \(a = y - x\) , \(b = z\) , \(c = x + y\) ，