2010年江苏高考数学压轴题解析： 巧用余弦定理与数学归纳法
By Long Luo
2010年江苏高考数学II卷的压轴题是一道竞赛味很浓的题，涉及群论( \(\textit{Group Theory}\) ) 1 中有理数在四则运算下的封闭性，并需要结合余弦定理与数学归纳法进行递推证明。
如果对有理数的运算性质较为熟悉，这类问题解题思路非常简单；但若缺乏相关代数结构的理解，则容易在递推关系的构造上产生困难。
23、（本小题满分 10 分） 已知 \(\triangle ABC\) 的三边长为有理数。
求证 \(\cos A\) 是有理数；
对任意正整数 \(n\) ，求证 \(\cos nA\) 也是有理数。
分析
第一问比较简单，利用余弦定理( \(\textit{Law of Cosines}\) ) 2可以将角度的余弦表达为三角形三边的代数组合。由于已知三边均为有理数 3，因此可直接转化为有理数的四则运算问题，从而证明。
第二问的关键在于观察到角度之间存在递推关系，因此可以自然构造二阶递推关系式，并使用数学归纳法 4 证明该性质在正整数范围内均成立。
第一问
设 \(\triangle ABC\) 三边长分别为 \(a, b, c\) ，因为 \(a, b, c\) 是有理数，那么 \(a, b, c\) 均可表示为 \(\dfrac {m}{n}\)（\(m, n\) 为互质的整数）形式 ，根据余弦定理有：
\[ \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]
根据有理数在四则运算下具有封闭性 5 ，则分子 \(b^2 + c^2 - a^2\) 是有理数，分母 \(2bc\) 为有理数，所以 \(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 必定为有理数，所以 \(\cos A\) 是有理数。
第二问
当 \(n = 1\) 时，由第一问已经证明 \(\cos A\) 是有理数；
当 \(n = 2\) 时，\(\cos 2A = 2\cos^2 A - 1\) ，因为 \(\cos A\) 是有理数，所以 \(\cos 2A\) 也是有理数；
假设当 \(n \leq k \ (k \geq 2)\) 时，结论成立，即 \(\cos kA\) 、\(\cos (k-1)A\) 均是有理数。
当 \(n = k + 1\) 时，
\[ \begin{aligned} \cos (k+1)A & = \cos kA \cos A - \sin kA \sin A \\ & = \cos kA \cos A - \frac {1}{2} \left[ \cos(kA - A) - \cos(kA + A) \right] \\ & = \cos kA \cos A - \frac {1}{2} \cos(k-1)A + \frac {1}{2} \cos(k+1)A \end{aligned} \]
解得：
\[ \cos (k+1)A = 2 \cos kA \cos A - \cos (k-1)A \]
因为 \(\cos A, \ \cos kA, \ \cos (k-1)A\) 均是有理数， \(2 \cos kA \cos A - \cos (k - 1)A\) 是有理数，所以 \(\cos (k + 1)A\) 是有理数。
即当 \(n = k + 1\) 时，结论成立。
综上所述，对于任意正整数 \(n\) ， \(\cos nA\) 是有理数。
总结
这道题如果了解有理数的封闭性的话，非常容易。