2008年江西高考数学压轴题详解：为什么它被称为史上最难高考数学题？
By Long Luo
如果你在搜索引擎中搜索“史上最难高考数学题”，大部分链接都会指向 2008 年江西高考理科数学压轴题。和之前文章探讨的 2010年江西高考理科数学压轴题 一样，2008 年江西高考理科数学压轴题同样由 陶平生老师 命制。这道题原型是 CMO2003 第 3 题，陶平生老师对其进行改编。该题难度极高，满分 14 分，当年全省考生无人得满分，平均分仅 0.31 分，史上最低纪录，最高得分 9 分仅一位考生，8 分两位，堪称史上最难压轴题。
虽然这道题的解法已经在很多地方见过，但自己一直没有静下心来完整推导一遍。最近终于亲自动手做了一次，把整个思考和求解过程记录下来，也算是给自己留一份笔记。
- （本小题满分14分）
已知函数
\[ f(x) = \frac {1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt {\frac {ax}{ax + 8}}, \quad x \in (0, +\infty) \]
- 当 \(a = 8\) 时，求 \(f(x)\) 的单调区间；
- 对任意正数 \(a\) ，证明： \(1 < f(x) < 2\) .
分析
对于第一问来说，比较简单，考察求导法则，有一定计算量。
将 \(a = 8\) 代入，可得：
\[ f(x) = \frac{1}{3} + \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \sqrt{\frac{x}{1 + x}} = \frac{1}{3} + \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{1 + x}} \]
求导可得：
\[ f'(x) = \frac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} \]
令 \(f'(x) = 0\) ， \(\dfrac {1 - \sqrt{x}}{2 \sqrt {x(1 + x)^{3}}} = 0\) ，解得 \(x = 1\) 。
- 当 \(0 < x < 1\) 时， \(f'(x) > 0\) , \(f(x)\) 严格单调递增;
- 当 \(x > 1\) 时， \(f'(x) < 0\) , \(f(x)\) 严格单调递减。
\(a = 8\) 时 \(f(x)\) 的图像：
这道题的第二问是不等式证明题，考察放缩技巧，但技巧性要求非常高，实际上这道题来自数学竞赛题的改编。
这道高考题为何如此困难？
令 \(b = x\) ， \(c = \dfrac{8}{ax}\) ，则第(2)问等价于：
若 \(a, b, c > 0\) ， \(abc = 8\) ，求证：
\[ 1 < \frac{1}{\sqrt{1+a}} + \frac{1}{\sqrt{1+b}} + \frac{1}{\sqrt{1+c}} < 2. \]
乍看之下，这只是一个普通的不等式，但实际上，它与多个经典竞赛不等式有着密切联系。
例如，它与 2004 年西部数学奥林匹克的压轴题十分相似：
设 \(a, b, c > 0\) ，求证：
\[ 1 < \dfrac{a}{\sqrt{a^2+b^2}} + \dfrac{b}{\sqrt{b^2+c^2}} + \dfrac{c}{\sqrt{c^2+a^2}}\le \dfrac{3\sqrt{2}}{2}. \]
据当年的赛后资料，这道西部奥林匹克压轴题难度极高，参赛选手中无人给出完整证明。而江西高考题所对应的不等式，在证明技巧上甚至更加困难。
更有意思的是，这个不等式还与 CMO 2003 第三题 存在直接联系。
给定正整数 \(n\) ，求最小的正数 \(\lambda\) ，使得对于任何 \(\theta_i \in \left(0, \dfrac{\pi}{2}\right)\) （ \(i = 1, 2, \cdots, n\) ），只要 \(\tan\theta_1 \cdot \tan\theta_2 \cdots \tan\theta_n = 2^{\frac n2}\) ，就有 \(\cos\theta_1 + \cos\theta_2 + \cdots + \cos\theta_n\) 不大于 \(\lambda\) ．
当 \(n = 3\) 时，令 \(a = \tan^2\theta_1, b = \tan^2\theta_2, c = \tan^2\theta_3\) 即为江西压轴题右边的不等式。
由此可见，这道高考压轴题虽然包装成了一道函数题，但其核心实际上是一道具有数学竞赛背景的不等式。
数学分析法
由于已经学习过高等数学，因此在求解这道题时，我并没有局限于中学数学的知识体系，而是尝试从更高的视角寻找解法。
观察函数 \(f(x)\) 的表达式：
\[ f(x) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + a}} + \sqrt{\frac{ax}{ax + 8}} \]
注意到 \(a\) 为任意正实数，虽然题目将 \(a\) 视为参数，\(x\) 视为自变量，但从表达式本身来看，两者并没有本质区别。事实上，将 \(a\) 与 \(x\) 互换后，函数形式完全不变，因此二者具有天然的对称性。于是令 \(y = a\) ，将原函数推广为二元函数：
\[ g(x, y) = \frac{1}{\sqrt{1 + x}} + \frac{1}{\sqrt{1 + y}} + \sqrt{\frac{xy}{xy + 8}} \]
对于任意正数 \(a, x\) ，当 \(x \to +\infty\) 时，易得：
\[ 1 < \lim_{x \to +\infty} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+a}} + \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{1+a}} < 2 \]
当 \(x \to 0^+\) 时，同样：
\[ 1 < \lim_{x \to 0^+} f(x) = \frac{1}{\sqrt{1+a}} + \frac{1}{\sqrt{1+0}} = 1 + \frac{1}{\sqrt{1+a}} < 2 \]
对于二元函数 \(g(x, y)\) ，可得：
\[ \lim_{(x, y) \to (0^+, 0^+)} g(x, y) = 2, \quad \lim_{(x, y) \to (+\infty, +\infty)} g(x, y) = 1, \]
因此，如果能够求出函数 \(f(x)\) 在定义域内的全部极值点，并证明这些驻点处的函数值均满足 \(1 < f(x) < 2\) ，再结合函数在边界处的极限值进行比较，即可说明函数在整个定义域内都不会超出区间 \((1, 2)\) 。
对于固定的 \(a\) ，函数 \(f(x)\) 关于 \(x\) 可导，因此其内部极值点必满足 \(f'(x) = 0\) 。通过求解该方程可以找到 \(f(x)\) 关于 \(x\) 的驻点。另一方面，由于前面已经证明函数关于 \(a\) 和 \(x\) 具有对称性，因此对变量 \(a\) 进行同样的分析也成立。利用这一对称关系，可以进一步建立关于 \(a, x\) 的方程组，并求出所有可能的极值情况。
下面求 \(g(x, y)\) 驻点处的函数值：
\[ \begin{cases} \dfrac{\partial g}{\partial x} = -\dfrac{1}{1+x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{1+x}} + \dfrac{\sqrt{y} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{x}} \cdot \sqrt{xy+8} - \sqrt{xy} \cdot \dfrac{y}{2\sqrt{xy+8}}}{xy+8} \stackrel{\text{令}}{=} 0 \\ \dfrac{\partial g}{\partial y} = -\dfrac{1}{1+y} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{1+y}} + \dfrac{\sqrt{x} \cdot \dfrac{1}{2\sqrt{y}} \cdot \sqrt{xy+8} - \sqrt{xy} \cdot \dfrac{x}{2\sqrt{xy+8}}}{xy+8} \stackrel{\text{令}}{=} 0 \end{cases} \]
解得唯一驻点为 \((2, 2)\) ，故 \(g(2, 2) = \sqrt{3} \in (1, 2)\) 。
从而证明了 \(1 < f(x) < 2\)。
\(g(x, y)\) 的函数图像如下图所示：
总结
这道压轴题在高考时对于考生来说难度极大，放弃这道题是明智的选择。