2007江苏高考数学第20题解析：一道通向黄金分割数的数列压轴题
By Long Luo
2007 年江苏高考数学卷第 20 题是一道颇具代表性的数列综合题。题目将等差数列与等比数列联系在一起，通过两列数的公共项建立方程关系，并逐步挖掘出数列背后的代数结构。
第一问利用公共项条件证明一个看似巧合的求和结论；第二问进一步由特殊项关系推出公比必须为整数，并证明整个等比数列都嵌入在等差数列之中；而最有趣的是第三问，当我们研究等比数列中何时会出现三项成等差数列时，竟然会得到一个十分熟悉的特殊数 —— 黄金分割数。
解答这道题不依赖复杂的技巧，只需要按照题目条件找到关系，列好方程即可。下面按照题目的三个小问，逐步分析其证明过程。
- （本题满分16分）
已知 \(\{ a_{n} \}\) 是等差数列， \(\{ b_{n} \}\) 是公比为 \(q\) 的等比数列， \(a_1 = b_1\) ， \(a_2 = b_2 \ne a_1\) 。记 \(S_{n}\) 为数列 \(\{ b_{n} \}\) 的前 \(n\) 项和。
（1）若 \(b_k = a_m\) （ \(m, k\) 是大于 \(2\) 的正整数），求证： \(S_{k-1} = (m - 1)a_1\) ；
（2）若 \(b_3 = a_i\) （ \(i\) 是某个正整数），求证： \(q\) 是整数，且数列 \(\{ b_n \}\) 中的每一项都是数列 \(\{ a_{n} \}\) 中的项；
（3）是否存在这样的正数 \(q\) ，使等比数列 \(\{ b_{n} \}\) 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 \(q\) 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。
第一问
设数列 \(\{a_n\}\) 的公差为 \(d\) ，由 \(a_1 = b_1\) , \(a_2 = b_2 \neq a_1\) ，易得 \(d \neq 0\) , \(q \neq 1\) ，且
\[ a_1 + d = a_1 q \Rightarrow d = a_1(q - 1) \quad (a_1 \neq 0) \]
因为 \(b_k = a_m\) ，故有：
\[ a_1 q^{k-1} = a_1 + (m - 1)a_1(q - 1) \]
两边约去 \(a_1\)（ \(a_1 \neq 0\) ），得
\[ q^{k-1} = 1 + (m - 1)(q - 1) = 2 - m + (m - 1)q \]
所以
\[ \begin{aligned} S_{k-1} &= \frac{a_1(1 - q^{k-1})}{1 - q} \\ &= \frac{a_1 \left[ 1 - \left( 2 - m + (m-1)q \right) \right]}{1 - q} \\ &= \frac{a_1 \left( m - 1 - (m-1)q \right)}{1 - q} \\ &= \frac{(m-1)a_1(1 - q)}{1 - q} \\ &= (m - 1)a_1 \end{aligned} \]
故问题得证。
第二问
由于 \(b_3 = a_1 q^2\) , \(a_i = a_1 + (i - 1)a_1(q - 1)\) ，根据 \(b_3 = a_i\) ，易得：
\[ q^2 = 1 + (i - 1)(q - 1) \]
整理得：
\[ q^2 - (i - 1)q + (i - 2) = 0 \]
解得 \(q = 1\) 或 \(q = i - 2\)，但 \(q \neq 1\) ，所以 \(q = i - 2\) 。
因为 \(i\) 是正整数，所以 \(i - 2\) 也是整数，即 \(q\) 为整数。
数列 \(\{ b_n \}\) 中任意一项为：
\[ b_n = a_1 q^{n-1} \quad (n \in \mathbb{N}^+), \]
而数列 \(\{ a_n \}\) 中的某一项为：
\[ a_m = a_1 + (m - 1)a_1(q - 1) \quad (m \in \mathbb{N}^+). \]
现在只要证明存在正整数 \(m\) ，使得 \(b_n = a_m\) ，即方程
\[ a_1 q^{n-1} = a_1 + (m - 1)a_1(q - 1) \]
中 \(m\) 有正整数解即可。
化简有：
\[ q^{n-1} = 1 + (m - 1)(q - 1) \]
则有：
\[ m - 1 = \frac{q^{n-1} - 1}{q - 1} = 1 + q + q^2 + \cdots + q^{n-2} \]
所以：
\[ m = 2 + q + q^2 + \cdots + q^{n-2} \]
若 \(i = 1\) ，则 \(q = -1\) ，那么 \(b_{2n-1} = b_1 = a_1, \ b_{2n} = b_2 = a_2\) ；
当 \(i \ge 3\) 时，因为 \(a_1 = b_1, \ a_2 = b_2\) ，只要考虑 \(n \ge 3\) 的情况，又因为 \(b_3 = a_i\) ，所以 \(i \ge 3\) ，因此 \(q\) 是正整数，所以 \(m\) 是正整数。
因此数列 \(\{ b_n \}\) 中任意一项为
\[ b_n = a_1 q^{n-1} \ (n \in \mathbb{N}^+) \]
与数列 \(\{ a_n \}\) 的第 \(2 + q + q^2 + \cdots + q^{n-2}\) 项相等，从而结论成立。
第三问
设数列 \(\{ b_n \}\) 中有三项 \(b_m, \ b_n, \ b_p \ (m < n < p, \ m, n, p \in \mathbb{N}^+)\) 成等差数列，则有
\[ 2a_1 q^{n-1} = a_1 q^{m-1} + a_1 q^{p-1}, \]
设 \(n - m = x, \ p - n = y \ (x, y \in \mathbb{N}^+)\) ，所以
\[ 2 = \frac{1}{q^x} + q^y \Rightarrow q^{x+y} - 2q^x + 1 = 0 \]
下面进行分类讨论：
\(x = y = 1\) 时， \(q^2 - 2q + 1 = 0\) 无实数解；
\(x = 1, \ y = 2\) 时， \(q^3 - 2q + 1 = 0\) , 因式分解为 \((q - 1)(q^2 + q - 1) = 0\) 。
因为 \(q \ne 1\)，所以 \(q^2 + q - 1=0\)，解得：
\[ q = \frac{\sqrt{5} - 1}{2} \ (\text{舍去负值}) \]
即存在 \(q = \dfrac{\sqrt{5} - 1}{2}\) 使得 \(\{ b_n \}\) 中有三项 \(b_m, \ b_{m+1}, \ b_{m+3} \ (m \in \mathbb{N}^+)\) 成等差数列。