2011年江西高考理科数学压轴题解析：递推、放缩与不等式结构
By Long Luo
在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 2010年江西高考数学压轴题 ，一道融合数论的难题。
今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。
- (本小题满分 14 分)
已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) ，且 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) （ \(n \geq 2\) ， \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ）.
- 求数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式；
- 证明：对于一切正整数 \(n\) ，不等式 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n ＜ 2 \cdot n!\) 恒成立。
第一问
在没有头绪的时候，我们不妨先算出数列的前几项，推测数列可能的表达式。
容易计算出： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) , \(a_2 = \dfrac{9}{4}\) , \(a_3 = \dfrac{81}{26}\) ， \(a_3 = \dfrac{162}{40}\) 。
不过观察数列 \(\{ a_n \}\) 前 4 项，仍然看不出什么规律，这个时候就要根据题设条件，找到数列的递推公式。
观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：
\[ \frac {1}{a_{n-1}} = \frac {2a_{n-1} + n - 1}{3na_{n-1}} \label{1} \tag{1} \]
易得：
\[ \frac {1}{a_{n-1}} = \frac {2}{3n} + \frac{n - 1}{3n} \cdot \frac {1}{a_{n-1}} \label{2} \tag{2} \]
注意到上式右边分母均有 \(n\) ，两边同乘 \(n\) 后结消去之后有：
\[ \frac n{a_n} = \frac {2}{3} + \frac{1}{3} \cdot \frac{n-1}{a_{n-1}} \label{3} \tag{3} \]
设 \(b_n = \dfrac {n}{a_n}\) ，那么数列 \(\{ b_n \}\) 满足：
\[ b_n = \frac {2}{3} + b_{n-1} \label{4} \tag{4} \]
根据递推公式，利用不动点法，可以得到：
\[ b_n - 1 = \frac {1}{3}(b_{n-1} - 1) \label{5} \tag{5} \]
所以 \(\{ b_n - 1 \}\) 为公比为 \(\dfrac{1}{3}\) 的等比数列，又由于该数列首项为 \(b_1 - 1 = -\dfrac {1}{3}\) ，因此 \(b_n = 1 - \left( \dfrac {1}{3} \right)^n\) ，所以 \(\dfrac {n}{a_n} = -\dfrac1{3^n}\) ，所以数列 \(\{ b_n \}\) 的通项公式为：
\[ a_n = \frac {n \cdot 3^n}{3^n - 1} \quad (n \in N^*) \label{6} \tag{6} \]
第二问
将数列 \(\{ a_n \}\) 通项公式 \(\eqref{6}\) 代入， \(n!\) 可以被消掉，因此只需证明：
\[ \frac{3}{3-1} \cdot \frac{3^2}{3^2 - 1} \cdot \cdots \cdot \frac{3^n}{3^n - 1} < 2 \]
注意到上式为乘积形式，很容易想到对两边同取对数操作，即有：
\[ \ln \frac{3}{3 - 1} + \ln \frac{3^2}{3^2 - 1} + \cdots + \ln \frac{3^n}{3^n - 1} < \ln 2 \]
注意到对数中每一项都大于 \(1\) ，而且每一项减去 \(1\) 之后分子都变成 \(1\) 。利用常用不等式对数切线 \(\ln x \leq x - 1\) 进行放缩，即：
\[ \frac {3}{3-1} - 1 + \frac {3^2}{3^2-1} - 1 + \cdots + \frac{3^n}{3^n-1} - 1 = \frac{1}{3-1} + \frac{1}{3^2-1} + \cdots + \frac{1}{3^n-1} < \ln 2 \label{2.1} \tag{2.1} \]
当 \(n \to +\infty\) 时，分母 \(3^n - 1 \approx 3^n\) ，而利用等比数列求和公式，不难得到 \(\dfrac {1}{3^n}\) 前 \(n\) 项和为 \(\dfrac {1}{2} < \ln 2\) 。
但 \(\eqref{2.1}\) 左侧是大于 \(\dfrac {1}{2}\) ，还需要进一步放缩。考虑前几项分别为 \(\dfrac{1}{2}, \ \dfrac{1}{8}, \ \dfrac{1}{26}\) ，而 \(\ln 2 > 0.693\) 。
以第 2 项为首项，直接构造新等比数列，有
\[ \begin{aligned} \frac{1}{3-1} + \frac{1}{3^2-1} + \frac{1}{3^3-1} + \frac{1}{3^4-1} + \cdots + \frac{1}{3^n-1} & < \frac12 + \frac{1}{3^2 - 1}(1 + \frac13 + \frac1{3^2} + \cdots + \frac1{3^{n-2}}) \\ & < \frac12 + \frac{1}{8} \cdot \frac32 = \frac9{16} \\ & = 0.6875 \\ & < \ln 2 \end{aligned} \]
故原命题得证。
数学归纳法
对于第二问，也可以使用数学归纳法来证明。
\[ a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n = \frac{n!}{\left(1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right)} \]
为证 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) ，只要证 \(n \in \mathbb{N}^*\) 时有
\[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) > \frac{1}{2} \]
显然，左端每个因式都是正数，先证明，对每个 \(n \in \mathbb{N}^*\)，有
\[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} \right) \label{} \label{3.1} \tag{3.1} \]
用数学归纳法证明 \(\eqref{3.1}\) 式：
\(n = 1\) 时，\(\eqref{3.1}\) 式显然成立；
设 \(n = k\) 时，\(\eqref{3.1}\) 式成立，即有：
\[ \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^k} \right) \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} \right) \]
那么当 \(n = k + 1\) 时，
\[ \begin{aligned} & \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2} \right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^k} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^{k+1}}\right) \\ & \ge \left[ 1 - \left(\frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k}\right) \right] \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^{k+1}} \right) \\ & = 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} \right) - \frac{1}{3^{k+1}} + \frac{1}{3^{k+1}} \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} \right) \\ & \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^k} + \frac{1}{3^{k+1}} \right) \end{aligned} \]
即当 \(n = k + 1\) 时，\(\eqref{3.1}\) 式也成立。
故对一切 \(n \in \mathbb{N}^*\) ，\(\eqref{3.1}\) 式都成立。
利用 \(\eqref{3.1}\) 得，
\[ \begin{aligned} \left( 1 - \frac{1}{3} \right) \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^2}\right) \cdot \cdots \cdot \left( 1 - \frac{1}{3^n} \right) & \ge 1 - \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3^2} + \cdots + \frac{1}{3^n} \right) \\ & = 1 - \frac{\frac{1}{3} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right)}{1 - \frac{1}{3}} \\ & = 1 - \frac{1}{2} \left( 1 - \left( \frac{1}{3} \right)^n \right) \\ & = \frac{1}{2} + \frac{1}{2} \left( \frac{1}{3} \right)^n > \frac{1}{2} \end{aligned} \]
故原问题成立。
总结
在自己尝试做完这道题之后，我又测试了 AI 的解题能力，惊讶的发现现在 AI 解题能力非常强。