Long Luo's Life Notes

每一天都是奇迹

发表于 更新于 分类于 阅读次数： Waline： 阅读次数： 本文字数： 1.4k 阅读时长 ≈ 1 分钟

By Long Luo

微软、Google 等科技公司的面试题库中，流传着许多经典问题。小时候在杂志上看过微软那道著名的面试题 ——“为什么下水道井盖是圆的？”，当时觉得这类问题十分有趣，因为它考察的往往不是知识储备，而是分析问题的思维方式。

最近，我又重新翻到了 Google 的一道经典面试题 —— 双蛋问题（ \(\textit{Two Eggs Problem}\) ）或者说鸡蛋掉落问题（ \(\textit{Egg Dropping Puzzle}\) ）。与井盖问题不同，这道题更偏向数学推导与算法优化，但同样充满巧思。乍看之下，它只是一个简单的试验设计问题；深入分析后却会发现，其中隐藏着相当优美的最坏情况分析思想，是一道非常值得细细品味的经典题目。

这道题的原文如下：

You work in a \(100\) floor building and you get \(2\) identical eggs. You need to figure out the highest floor an egg can be dropped without breaking. Find an algorithm that is minimizing number of throws in the worst-case scenario.

你站在一栋 \(100\) 层高的大楼里，手中有 \(2\) 个完全相同的鸡蛋。有一未知的临界楼层，鸡蛋从临界楼层以下扔下去，一定不会碎；从临界楼层以上丢下去，一定会碎。已知未碎的鸡蛋可以重复使用，碎了的鸡蛋就不能再往下扔了。要求即便在最坏情况下，尝试次数也要尽可能少。请问最少需要尝试多少次能够找到这个临界楼层？

一个鸡蛋

如果只有 \(1\) 个鸡蛋，问题解法非常简单。我们别无选择，只能从一楼开始逐层测试。用这种方法一定能找到鸡蛋安全掉落的最高楼层：该楼层就是鸡蛋摔碎楼层的下一层。

那么在最坏情况下，最少需要尝试多少次？答案就是 \(100\) 次。因为最坏的情况就是临界楼层为第 \(100\) 层（若鸡蛋在第 \(100\) 层摔碎，则临界楼层为 \(99\) 层）。

阅读全文 »

发表于 更新于 分类于 阅读次数： Waline： 阅读次数： 本文字数： 1.3k 阅读时长 ≈ 1 分钟

By Long Luo

2010年江苏高考数学II卷的压轴题是一道竞赛味很浓的题，涉及群论( \(\textit{Group Theory}\) ) 1 中有理数在四则运算下的封闭性，并需要结合余弦定理与数学归纳法进行递推证明。

如果对有理数的运算性质较为熟悉，这类问题解题思路非常简单；但若缺乏相关代数结构的理解，则容易在递推关系的构造上产生困难。

23、（本小题满分 10 分） 已知 \(\triangle ABC\) 的三边长为有理数。

  1. 求证 \(\cos A\) 是有理数；

  2. 对任意正整数 \(n\) ，求证 \(\cos nA\) 也是有理数。

分析

第一问比较简单，利用余弦定理( \(\textit{Law of Cosines}\) ) 2 可以将角度的余弦表达为三角形三边的代数组合。由于已知三边均为有理数 3，因此可直接转化为有理数的四则运算问题，从而证明。

第二问的关键在于观察到角度之间存在递推关系，因此可以自然构造二阶递推关系式，并使用数学归纳法 4 证明该性质在正整数范围内均成立。

第一问

设 \(\triangle ABC\) 三边长分别为 \(a, b, c\) ，因为 \(a, b, c\) 是有理数，那么 \(a, b, c\) 均可表示为 \(\dfrac {m}{n}\)（\(m, n\) 为互质的整数）形式 ，根据余弦定理有：

\[ \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

根据有理数在四则运算下具有封闭性，则分子 \(b^2 + c^2 - a^2\) 是有理数，分母 \(2bc\) 为有理数，所以 \(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 必定为有理数，所以 \(\cos A\) 是有理数。

阅读全文 »

发表于 更新于 分类于 阅读次数： Waline： 阅读次数： 本文字数： 2.7k 阅读时长 ≈ 2 分钟

By Long Luo

数学题中个人比较喜欢数列与不等式结合的题目，这类题主要对递推关系的观察、数列分析、不等式放缩和解题思路的构造都有较高要求，能体会到数学乐趣。今天来挑战一道2011年清华大学自主招生数学试题中的数列大题，这道题本身计算量不大，难度中等。本文将详细分析这道数列题的解题过程，希望能够帮助读者直观理解这类题目的解题思路。

  1. (本小题满分14分)

已知函数 \(f(x) = \dfrac{2x}{ax + b}\) ，\(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 。令 \(x_1 = \dfrac{1}{2}\) ，\(x_{n+1} = f(x_n)\) 。

  1. 求数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式；

  2. 证明 \(x_1x_2 \dots x_n > \dfrac{1}{2e}\) 。

第一问

解：由 \(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得：

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]

易得：\(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表达式为：

\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]

先求出数列 \(\{ x_n \}\) 的前几项： \(x_1 = \dfrac{1}{2}，x_2 = \dfrac{2}{3}，x_3 = \dfrac{4}{5}，x_4 = \dfrac{8}{9}\) ，可以猜测 \(\{ x_n \}\) 通项公式为：

\[ x_n = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1} \label{1.2} \tag{1.2} \]

阅读全文 »

发表于 更新于 分类于 阅读次数： Waline： 阅读次数： 本文字数： 4.6k 阅读时长 ≈ 4 分钟

By Long Luo

在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 2010年江西高考数学压轴题 ，一道融合数论的难题。

今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006 年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。

  1. (本小题满分 14 分)

已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) ，且 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) （ \(n \geq 2\) ， \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ）.

  1. 求数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式；
  2. 证明：对于一切正整数 \(n\) ，不等式 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) 恒成立。

第一问

在没有头绪的时候，我们不妨先算出数列的前几项，推测数列可能的表达式。

容易计算出： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) , \(a_2 = \dfrac{9}{4}\) , \(a_3 = \dfrac{81}{26}\) ， \(a_3 = \dfrac{162}{40}\) 。

不过观察数列 \(\{ a_n \}\) 前 4 项，仍然看不出什么规律，这个时候就要根据题设条件，找到数列的递推公式。

观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：

阅读全文 »

发表于 更新于 分类于 阅读次数： Waline： 阅读次数： 本文字数： 3.5k 阅读时长 ≈ 3 分钟

By Long Luo

最近在短视频 App 里刷到不少中学数学题讲解，才发现现在的初中数学题，很多已经不只是“会算”这么简单了，背后往往还藏着不等式、函数、几何直觉等不同层面的思维训练。

当然，这也不算奇怪，几十年前的 IMO 试题放现在也就普通题。很多经典数学竞赛题，随着时间推移和教学资源普及，早已从高阶技巧逐渐变成了基础训练的一部分。

前几天我就反复刷到一道“求极值”的题，看起来不难，但这道题其实非常适合拿来练习数学直觉。

已知 \(x + y = 5\) ，求 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3}\) 的最大值。

看到这道题，首先想到的几何意义其实是将军饮马模型，但将军饮马问题求得是最小值问题。那最大值该怎么求呢？最大值的几何意义是什么呢？

这道题的有趣之处在于可以用很多完全不同的思路来解决，有的解法只需要代数变形和基本不等式，也可以使用几何视角、函数思想。

下面就道题为例，把几种典型解法都梳理一遍，也顺便重新锻炼一下自己的数学思维。

解法一：常规解法

由 \(y = 5 - x\) ，原式变成 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，要保证根号有意义，所以 \(−1 \le x \le 8\) 。

设 \(S = \sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，两边平方得 \(S^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{8 - x})^2\) 。

展开可得：

\[ \begin{aligned} S^2 & = (x + 1) + (8 - x) + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-x^2 + 7x + 8} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-(x - \frac {7}{2})^2 + \frac {81}{4}} \end{aligned} \]

因此 \(S^2 \le 9 + 2 \times \dfrac {9}{2} = 18\) ，于是 \(S \le 3 \sqrt 2\) 当且仅当 \(x = \dfrac {7}{2}\) 时取等号。

故最大值为 \(3\sqrt2\) 。

阅读全文 »
0%