By Long Luo

无论是家中的冰箱和空调，还是天上的飞机、水中的轮船、路上的汽车，它们本质上都属于热机 ¹。或许有人会疑惑：冰箱和空调明明是用电的，怎么能和烧油的归为一类呢？事实上，这些机器虽然形式各异，但原理上都涉及热能的转换。它们早已融入我们的日常生活，而对大多数人而言，知道它们是机器已经足够了。

人类一直以来都在努力提高机器的效率，从而更好的为我们服务。以汽车为例，目前汽油发动机的热效率大约为 \(30\%\) ，柴油机稍高一些，可达 \(40\%\) ，而电动机的效率则高达 \(90\%\) ，部分甚至可以达到 \(95\%\) 。为什么燃油发动机的效率远远低于电动机呢？主要原因在于电动机可以直接将电能转换为机械能，结构简单，损耗极少。而燃油发动机则涉及多个能量转换环节，结构复杂，损耗较大。

假如我们忽略燃油发动机的一切损耗，它的效率是否能达到 \(100\%\) 呢？我曾一度认为可以，但后来发现并非如此。要解答这个问题，我们需要先从水流谈起。

水轮机

把手放进流动的水中，我们可以明显感觉到水流的冲击力，水流越大越快，冲击力也就越大。人类很早就意识到了流水中蕴藏的能量，并用流水来驱动水车，用于灌溉、磨坊等，下图 1 所示为位于比利时一家磨坊的水车。水车虽好，但需要稳定的水流，旱季时水力不足，运转乏力甚至无法运行，如何才能一年四季不因雨量不同而影响水车运转呢？

答案很明显，修水坝，在雨季时把富余的水存储在高处，这样旱季时也能保证水车的正常运转。这一策略一直沿用了几千年，到现在无非就是大坝修得更高更好，水车换成了水轮机，驱动磨坊变成了发电而已。水在高处时，具有重力势能越大，但如果我们在高山湖泊中放置一台水车时，水车是不会转动的，因为湖泊中的水并不一定在流动，即使在流动，流速也很小，并不足以驱动水轮机。

只有当水从高处流向低处时，势能才能转化为动能，推动水轮机从而进行机械作功，实现能量的转化与利用。

从上图也可以看出，驱动水车的关键在于水的流动，而不在于水的多少。高山湖泊的水虽然重力势能很大，而且数量巨大，但是除非这些水从高处流下，否则并不能对外做功。

By Long Luo

2024 年很快就要过去了，就在今天，我们脚下的地球已经以每秒约 30 公里的速度飞快越过了近日点，飞驰在围绕着太阳的椭圆轨道上。当 2025 年新年钟声敲响时，对于位于银河系第三旋臂边缘的这颗蓝色行星来说，不过是围绕着一颗黄矮星完成了一次再普通不过的公转，正如之前的 40 多亿次一样。而对于这颗行星上的碳基生物来说，不同的生物感受大不一样，这一刻却意味着对过去 366 个日夜 的告别与总结，也承载着对未来的期待与梦想。

和 2023 年不一样的是，我们在 2024 年要经历 366 个日夜，因为 2024 年是闰年。小学时，课本和老师都告诉我们一年有 365 天，但是闰年却是 366 天，这多出来的一天就是 2 月 29 日，在英语中叫做 \(\textit{Leap Day}\) 。四年一闰，百年不闰，四百年再闰，这是闰年的规则。后来学习编程时，判断某一年是不是闰年也是常见的编程练习题。在学习之余，你有没有想过，为什么闰年的规则要这么奇怪呢？背后的原因是什么呢？

小学读书时，就想 2 月份很委屈， 1 月 和 3 月都是 31 天，2 月却只有 28 或者 29 天，为什么 2 月这么特别呢？为什么有的月份是 31 天，有的月份是 30 天呢？但我的老师并没有讲清楚为什么，因为当时我的老师们也不清楚为什么，我也一直到大学里读了一本天文学书才知道了这个问题的答案。

为什么 2024 年 2 月有 29 天？要回答这个问题，我们需要穿越历史的迷雾，回顾人类文明史，才能找到答案。

逝者如斯夫，不舍昼夜！

《鲁滨逊漂流记》中的鲁滨逊流落到荒岛之后第一时间就是竖起了一根大柱子，用刀子在立柱上刻上凹口当作日历。一方面是因为鲁滨逊是基督徒需要做礼拜，另外一方面也是为了记录时间。我们的现代生活是离不开钟表的，如果没有钟表来量化时间的话，我们的工作生活将失去秩序。当然鲁滨逊在荒岛上也只能过着“日出而作，日落而息”的农业社会生活，无法精确的安排工作和生活。

“朝菌不知晦朔，蟪蛄不知春秋”，我们智人的寿命足够长，不像朝生暮死的蜉蝣，也不似春生夏死的寒蝉，可以目睹很多生命的诞生、成长以及消亡，感受时间的流逝。“逝者如斯夫，不舍昼夜！”，时间的洪流永远奔涌向前，然而虽然以我们生命的长度可以跨越四季与年轮，但是依然无法触及时间的尽头。

寄蜉蝣于天地，渺沧海之一粟。哀吾生之须臾，羡长江之无穷。当然我们现在知道时间并不是均匀流逝的，也不能脱离物质而存在，但在足够宏大的尺度上，时间在均匀的流逝着。

虽然你可能没有意识到，但是我们一直都在用着天然的时钟，它们就位于我们头顶的星空。这些时钟都足够精准，地球自转的每日误差在毫秒级别，月球公转和地球公转上百年也仅有几毫秒的差别。

“日出东南隅，照我秦氏楼。”，新的一天又开始了；残月如弓，新月如眉，满月如镜，周而复始；“未觉池塘春草梦，阶前梧叶已秋声。”，四季轮回时，我们知道新的一年又来临了。

By Long Luo

从之前的文章 正态分布(Normal Distribution)公式为什么长这样？ 和 从最小二乘法到正态分布：高斯是如何找到失踪的谷神星的？ ，我们使用了 \(2\) 种不同的方法最终得到了如下公式 \((1)\) 所示的误差的概率密度函数 ( \(\text{Probability Density Function}\) ) ：

\[ f(x) = \mathrm{e}^{-cx^2}, \, c > 0 \tag{1} \label{1} \]

其函数图像如下图 1 所示的钟形曲线 ( \(\text{Bell Curve}\) ) ：

在概率论中，我们需要保证上图 1 中 \(f(x)\) 和 \(x\) 轴围成的面积是 \(1\) , 即：

\[ \int_{- \infty}^{+ \infty} f(x) \mathrm{d}x = 1 \tag{2} \label{2} \]

最终我们得到了正态分布 ( \(\text{Normal Distribution}\) ) 的公式如下所示：

\[ f(x) = {\frac {1}{\sigma {\sqrt {2 \pi }}}}\;e^{-{\frac {\left(x - \mu \right)^{2}}{2 \sigma ^{2}}}} \tag{3} \label{3} \]

上式中有一个 \(\pi\) ，用费曼( \(\text{Richard Feynman}\) )的话来说，当我们看到一个公式中存在 \(\pi\) 时，我们都要问自己“Where is the cycle?”。我们知道公式 \(\eqref{3}\) 中的归一化系数 \(\dfrac {1}{\sigma {\sqrt {2 \pi }}}\) 是为了保证 \(f(x)\) 下的面积为 \(1\) ，出现 \(\pi\) 是因为高斯积分 ( \(\text{Gaussian Integral}\) ) 的结果为 \(\sqrt{\pi}\) 。

那么什么是高斯积分呢？高斯积分和圆有什么关系呢？

By Long Luo

在上一篇文章 正态分布(Normal Distribution)公式为什么长这样？ 中，我们使用了投掷飞镖的模型，推导出了正态分布( \(\text{Normal Distribution}\) )的表达式。这种方法既优雅又直观，所以常被用于科普视频或者文章中。那么这个例子是怎么来的呢？我们知道这个方法是天文学家赫歇尔（ \(\text{John Herschel}\) ）在 1850 年给出的，难道他在投掷飞镖时想到的吗？

答案是否定的，原因是因为赫歇尔作为一个天文学家，需要精确的测量天体的位置，而在观测星星时，必须要考虑误差的影响。星星在天球中的位置误差是二维的，考虑到误差大家不太好理解，所以用了投掷飞镖这个更通俗易懂的例子。

正如法国著名哲学家孔德( \(\text{Auguste Comte}\) ，1798-1857)所说“To understand a science, it is necessary to know its history. ”，只有了解这个学科的发展历史，了解这个学科的重要概念是如何建立起来的，才能真正理解这个学科。不同于我们在课本中学习顺序，科学是用来解决实际问题的，科学是由一个个问题所驱动发展的。正如仅次牛顿和爱因斯坦的伟大物理学家麦克斯韦( \(\text{James Clerk Maxwell}\) ) 曾说过“It is of great advantage to the student of any subject to read the original memoirs on that subject, for science is always most completely assimilated when it is in the nascent state…”，我们学习历史上科学家是如何解决这些问题，用了什么方法，才能获取某个概念的 insight ，建立 intuition 。

正态分布，又被称为高斯分布（ \(\text{Gaussian Distribution}\) ），人们可能会以为正态分布是由高斯发现的，但事实并非如此！

正态分布最早是由法国数学家棣莫弗( \(\text{Abraham de Moivre}\) , 1667-1754)在 1718 年左右发现的。他为了解决朋友提出的一个赌博问题，而去认真研究了二项分布。他发现当实验次数增大时，二项分布( \(p=0.5\) )趋近于一个看起来呈钟形的曲线，如下图 1 所示。后来著名法国数学家拉普拉斯( \(\text{Pierre-Simon Laplace}\) , 1749-1827)对此作了更详细的研究，并证明了 \(p \ne 0.5\) 时二项分布的极限也是正态分布。之后人们便将此称为棣莫弗 - 拉普拉斯中心极限定理（ \(\text{Central limit theorem}\) ）。

失踪的谷神星

16 和 17 世纪是天文学发展的黄金时期，这一时期的科学革命彻底改变了人类对宇宙的理解。哥白尼( \(\text{Nicolaus Copernicus}\) ，1473-1543)的日心说、开普勒( \(\text{Johannes Kepler}\) ，1571-1630)的行星运动三定律、伽利略( \(\text{Galileo Galilei}\) ，1564-1642)的望远镜观测以及牛顿( \(\text{Isaac Newton}\) ，1643-1727)的万有引力定律共同构成了现代天文学的基础。这一时期的科学家们不仅改变了人类对宇宙的理解，还为后续的科学研究提供了重要的方法和工具。

By Long Luo

相信大家或多或少都听过六西格玛( \(\text{6 Sigma}\) ) ¹ 这个词，六西格玛是指生产的产品中， \(99.99966\%\) 的产品是没有质量问题的，即只有 \(3.4ppm\) 的不良率。

假如一家工厂生产某型号零件，零件的长度要求是 \(100mm\) ，允许的标准差是 \(0.1mm\) 。根据 \(6 \sigma\) 原则，零件规格允许的偏差范围是： \(100 \pm 6 \times 0.1 = 100 \pm 0.6\) 。

这意味着，零件长度超过 \(100.6mm\) 或低于 \(99.4mm\) 的概率是非常低的，约为 \(0.00034\%\) 。如果工厂每天生产 100 万个零件，只允许有 \(3.4\) 个零件会超出 \(6 \sigma\) 的范围，几乎可以忽略不计。因此，生产过程是极其稳定和可靠的，达到了六西格玛水平。

那么 \(6 \sigma\) 中 \(3.4ppm\) 的不良率来自哪里呢？

学过中学数学都知道，在正态分布( \(\text{Normal Distribution}\) ) ² 中， \(68.27\%\) 的数据位于平均值的一个标准差内， \(95.45\%\) 位于两个标准差内， \(99.73\%\) 位于三个标准差内，这也是著名的 68-95-99.7 Rule ³ ，如下图 1 所示：

什么是正态分布？

数据可以用不同的方式“分布”，比如数据可以向左散布的多一些，也可以向右散布的多一些，或者分布的乱七八糟，如下图 2 - 4 所示，

但数据经常会集中在一个中心值的附近，而不向左或右偏斜，像一个钟形，如下图 5 所示。

正态分布，又称高斯分布（ \(\text{Gaussian Distribution}\) ），是一种重要的概率分布，数学王子高斯 ⁴ 在正态分布的研究和应用上做出了巨大贡献。有很多日常现象都符合这种分布，如人的身高、考试成绩等。正因为它几乎无处不在，所以叫 \(\text{Normal Distribution}\) 。德国曾经发行的一款 10 马克的纸币上就印着高斯和正态分布曲线，如下图 6 所示。