Long Luo's Life Notes

每一天都是奇迹

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By Long Luo

2007 年江苏高考数学卷第 20 题是一道颇具代表性的数列综合题。题目将等差数列与等比数列联系在一起，通过两列数的公共项建立方程关系，并逐步挖掘出数列背后的代数结构。

第一问利用公共项条件证明一个看似巧合的求和结论；第二问进一步由特殊项关系推出公比必须为整数，并证明整个等比数列都嵌入在等差数列之中；而最有趣的是第三问，当我们研究等比数列中何时会出现三项成等差数列时，竟然会得到一个十分熟悉的特殊数 —— 黄金分割数。

解答这道题不依赖复杂的技巧，只需要按照题目条件找到关系，列好方程即可。下面按照题目的三个小问，逐步分析其证明过程。

  1. （本题满分16分）

已知 \(\{ a_{n} \}\) 是等差数列， \(\{ b_{n} \}\) 是公比为 \(q\) 的等比数列， \(a_1 = b_1\) ， \(a_2 = b_2 \ne a_1\) 。记 \(S_{n}\) 为数列 \(\{ b_{n} \}\) 的前 \(n\) 项和。

（1）若 \(b_k = a_m\) （ \(m, k\) 是大于 \(2\) 的正整数），求证： \(S_{k-1} = (m - 1)a_1\) ；

（2）若 \(b_3 = a_i\) （ \(i\) 是某个正整数），求证： \(q\) 是整数，且数列 \(\{ b_n \}\) 中的每一项都是数列 \(\{ a_{n} \}\) 中的项；

（3）是否存在这样的正数 \(q\) ，使等比数列 \(\{ b_{n} \}\) 中有三项成等差数列？若存在，写出一个 \(q\) 的值，并加以说明；若不存在，请说明理由。

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By Long Luo

微软、Google 等科技公司的面试题库中，流传着许多经典问题。小时候在杂志上看过微软那道著名的面试题 ——“为什么下水道井盖是圆的？”，当时觉得这类问题十分有趣，因为它考察的往往不是知识储备，而是分析问题的思维方式。

最近，我又重新翻到了 Google 的一道经典面试题 —— 双蛋问题（ \(\textit{Two Eggs Problem}\) ）或者说鸡蛋掉落问题（ \(\textit{Egg Dropping Puzzle}\) ）。与井盖问题不同，这道题更偏向数学推导与算法优化，但同样充满巧思。乍看之下，它只是一个简单的试验设计问题；深入分析后却会发现，其中隐藏着相当优美的最坏情况分析思想，是一道非常值得细细品味的经典题目。

这道题的原文如下：

You work in a \(100\) floor building and you get \(2\) identical eggs. You need to figure out the highest floor an egg can be dropped without breaking. Find an algorithm that is minimizing number of throws in the worst-case scenario.

你站在一栋 \(100\) 层高的大楼里，手中有 \(2\) 个完全相同的鸡蛋。有一未知的临界楼层，鸡蛋从临界楼层以下扔下去，一定不会碎；从临界楼层以上丢下去，一定会碎。已知未碎的鸡蛋可以重复使用，碎了的鸡蛋就不能再往下扔了。要求即便在最坏情况下，尝试次数也要尽可能少。请问最少需要尝试多少次能够找到这个临界楼层？

一个鸡蛋

如果只有 \(1\) 个鸡蛋，问题解法非常简单。我们别无选择，只能从一楼开始逐层测试。用这种方法一定能找到鸡蛋安全掉落的最高楼层：该楼层就是鸡蛋摔碎楼层的楼下一层。

那么在最坏情况下，最少需要尝试多少次？答案就是 \(100\) 次。因为最坏的情况就是临界楼层为第 \(100\) 层。如果鸡蛋在第 \(100\) 层摔碎，则临界楼层为 \(99\) 层。

两个鸡蛋

如果有 \(2\) 个鸡蛋，那么问题就变得有趣起来。此时我们允许试错一次，大家很自然会想到二分查找，但在这里并不是最优方案。如果最高安全楼层是 \(49\) 层，一开始就在 \(50\) 层扔下第一枚鸡蛋，鸡蛋直接摔碎，之后只能逐层测试 \(49\) 次才能得到答案，总计尝试 \(50\) 次。

既然一开始从 50 层扔下不可行，那么很容易想到隔少一点楼层扔下行不行呢？如果我们每隔 \(10\) 层测试一次的话，那么依次在 \(10, 20, 30, 40, 50\) 层扔鸡蛋，鸡蛋在 \(50\) 层摔碎后，再逐层测试 \(41 - 49\) 层即可得出答案，全程仅需 \(14\) 次尝试。由此可见，每隔 \(k\) 层测试一次是可行的思路。在这种策略下在最坏情况下的尝试次数：最坏场景是连续跳层直到鸡蛋摔碎，之后只能用仅剩的一个鸡蛋，在最后一段长度为 \(k - 1\) 的区间内逐层排查。

那么尝试次数计算公式为：\(\lfloor \dfrac {100}{k} \rfloor + (k - 1)\) 。注意到 \(\dfrac {100}{k}\) 和 \(k - 1\) 是此消彼长的关系，在大概 \(k = 10\) 左右有极值，当 \(k = 8, 9, 10, 11, 12, 13\) 时，计算得到最坏尝试次数为 \(19\) 次。

那这个问题的正确答案是扔多少次呢？

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By Long Luo

2010年江苏高考数学II卷的压轴题是一道竞赛味很浓的题，涉及群论( \(\textit{Group Theory}\) ) 1 中有理数在四则运算下的封闭性，并需要结合余弦定理与数学归纳法进行递推证明。

如果对有理数的运算性质较为熟悉，这类问题解题思路非常简单；但若缺乏相关代数结构的理解，则容易在递推关系的构造上产生困难。

23、（本小题满分 10 分） 已知 \(\triangle ABC\) 的三边长为有理数。

  1. 求证 \(\cos A\) 是有理数；

  2. 对任意正整数 \(n\) ，求证 \(\cos nA\) 也是有理数。

分析

第一问比较简单，利用余弦定理( \(\textit{Law of Cosines}\) ) 2 可以将角度的余弦表达为三角形三边的代数组合。由于已知三边均为有理数 3，因此可直接转化为有理数的四则运算问题，从而证明。

第二问的关键在于观察到角度之间存在递推关系，因此可以自然构造二阶递推关系式，并使用数学归纳法 4 证明该性质在正整数范围内均成立。

第一问

设 \(\triangle ABC\) 三边长分别为 \(a, b, c\) ，因为 \(a, b, c\) 是有理数，那么 \(a, b, c\) 均可表示为 \(\dfrac {m}{n}\)（\(m, n\) 为互质的整数）形式 ，根据余弦定理有：

\[ \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

根据有理数在四则运算下具有封闭性，则分子 \(b^2 + c^2 - a^2\) 是有理数，分母 \(2bc\) 为有理数，所以 \(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 必定为有理数，所以 \(\cos A\) 是有理数。

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By Long Luo

数学题中个人比较喜欢数列与不等式结合的题目，这类题主要对递推关系的观察、数列分析、不等式放缩和解题思路的构造都有较高要求，能体会到数学乐趣。今天来挑战一道2011年清华大学自主招生数学试题中的数列大题，这道题本身计算量不大，难度中等。本文将详细分析这道数列题的解题过程，希望能够帮助读者直观理解这类题目的解题思路。

  1. (本小题满分14分)

已知函数 \(f(x) = \dfrac{2x}{ax + b}\) ，\(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 。令 \(x_1 = \dfrac{1}{2}\) ，\(x_{n+1} = f(x_n)\) 。

  1. 求数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式；

  2. 证明 \(x_1x_2 \dots x_n > \dfrac{1}{2e}\) 。

第一问

解：由 \(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得：

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]

易得：\(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表达式为：

\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]

先求出数列 \(\{ x_n \}\) 的前几项： \(x_1 = \dfrac{1}{2}，x_2 = \dfrac{2}{3}，x_3 = \dfrac{4}{5}，x_4 = \dfrac{8}{9}\) ，可以猜测 \(\{ x_n \}\) 通项公式为：

\[ x_n = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1} \label{1.2} \tag{1.2} \]

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By Long Luo

在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 2010年江西高考数学压轴题 ，一道融合数论的难题。

今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006 年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。

  1. (本小题满分 14 分)

已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) ，且 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) （ \(n \geq 2\) ， \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ）.

  1. 求数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式；
  2. 证明：对于一切正整数 \(n\) ，不等式 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) 恒成立。

第一问

在没有头绪的时候，我们不妨先算出数列的前几项，推测数列可能的表达式。

容易计算出： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) , \(a_2 = \dfrac{9}{4}\) , \(a_3 = \dfrac{81}{26}\) ， \(a_3 = \dfrac{162}{40}\) 。

不过观察数列 \(\{ a_n \}\) 前 4 项，仍然看不出什么规律，这个时候就要根据题设条件，找到数列的递推公式。

观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：

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