Long Luo's Life Notes

每一天都是奇迹

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By Long Luo

2010年江苏高考数学II卷的压轴题是一道竞赛味很浓的题，涉及群论( \(\textit{Group Theory}\) ) 1 中有理数在四则运算下的封闭性，并需要结合余弦定理与数学归纳法进行递推证明。

如果对有理数的运算性质较为熟悉，这类问题解题思路非常简单；但若缺乏相关代数结构的理解，则容易在递推关系的构造上产生困难。

23、（本小题满分 10 分） 已知 \(\triangle ABC\) 的三边长为有理数。

  1. 求证 \(\cos A\) 是有理数；

  2. 对任意正整数 \(n\) ，求证 \(\cos nA\) 也是有理数。

分析

第一问比较简单，利用余弦定理( \(\textit{Law of Cosines}\) ) 2可以将角度的余弦表达为三角形三边的代数组合。由于已知三边均为有理数 3，因此可直接转化为有理数的四则运算问题，从而证明。

第二问的关键在于观察到角度之间存在递推关系，因此可以自然构造二阶递推关系式，并使用数学归纳法 4 证明该性质在正整数范围内均成立。

第一问

设 \(\triangle ABC\) 三边长分别为 \(a, b, c\) ，因为 \(a, b, c\) 是有理数，那么 \(a, b, c\) 均可表示为 \(\dfrac {m}{n}\)（\(m, n\) 为互质的整数）形式 ，根据余弦定理有：

\[ \cos A = \dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} \]

根据有理数在四则运算下具有封闭性 5 ，则分子 \(b^2 + c^2 - a^2\) 是有理数，分母 \(2bc\) 为有理数，所以 \(\dfrac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc}\) 必定为有理数，所以 \(\cos A\) 是有理数。

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By Long Luo

数学题中个人比较喜欢数列与不等式结合的题目，这类题主要对递推关系的观察、数列分析、不等式放缩和解题思路的构造都有较高要求，能体会到数学乐趣。今天来挑战一道2011年清华大学自主招生数学试题中的数列大题，这道题本身计算量不大，难度中等。本文将详细分析这道数列题的解题过程，希望能够帮助读者直观理解这类题目的解题思路。

  1. (本小题满分14分)

已知函数 \(f(x) = \dfrac{2x}{ax + b}\) ，\(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 。令 \(x_1 = \dfrac{1}{2}\) ，\(x_{n+1} = f(x_n)\) 。

  1. 求数列 \(\{ x_n \}\) 的通项公式；

  2. 证明 \(x_1x_2 \dots x_n > \dfrac{1}{2e}\) 。

第一问

解：由 \(f(1) = 1\) ，\(f(\dfrac{1}{2}) = \dfrac{2}{3}\) 得：

\[ \begin{cases} a + b = 2 \\ a + 2b = 3 \end{cases} \]

易得：\(a = 1, \ b = 1\) ，所以 \(f(x)\) 的表达式为：

\[ f(x) = \frac{2x}{x+1} \label{1.1} \tag{1.1} \]

先求出数列 \(\{ x_n \}\) 的前几项： \(x_1 = \dfrac{1}{2}，x_2 = \dfrac{2}{3}，x_3 = \dfrac{4}{5}，x_4 = \dfrac{8}{9}\) ，可以猜测 \(\{ x_n \}\) 通项公式为：

\[ x_n = \frac{2^{n-1}}{2^{n-1} + 1} \label{1.2} \tag{1.2} \]

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By Long Luo

在 2005 - 2015 年江西高考自主命题时期，江西卷一直以鲜明的风格闻名全国，尤其是数学试卷，更因题目难度大、运算量惊人而被许多考生视为“噩梦级”存在。此前我们曾解析过 2010年江西高考数学压轴题 ，一道融合数论的难题。

今天继续回顾江西卷另一道代表性压轴题：2006 年江西高考理科数学最后一题。这道题以数列为核心，将递推关系与不等式深度结合，综合性极强，即使放到今天来看，依然是一道颇具挑战性的高水平试题。

  1. (本小题满分 14 分)

已知数列 \(\{ a_n \}\) 满足： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) ，且 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) （ \(n \geq 2\) ， \(n \in \mathbb{N}^{*}\) ）.

  1. 求数列 \(\{ a_n \}\) 的通项公式；
  2. 证明：对于一切正整数 \(n\) ，不等式 \(a_1 \cdot a_2 \cdot \cdots \cdot a_n < 2 \cdot n!\) 恒成立。

第一问

在没有头绪的时候，我们不妨先算出数列的前几项，推测数列可能的表达式。

容易计算出： \(a_1 = \dfrac{3}{2}\) , \(a_2 = \dfrac{9}{4}\) , \(a_3 = \dfrac{81}{26}\) ， \(a_3 = \dfrac{162}{40}\) 。

不过观察数列 \(\{ a_n \}\) 前 4 项，仍然看不出什么规律，这个时候就要根据题设条件，找到数列的递推公式。

观察 \(a_n = \dfrac {3na_{n-1}}{2a_{n-1} + n - 1}\) ，由于分子只有1项，而分母里既有 \(a_{n-1}\) 又有 \(n - 1\) ，这种情况下如果对原式取倒数更容易化简：

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By Long Luo

最近在短视频 App 里刷到不少中学数学题讲解，才发现现在的初中数学题，很多已经不只是“会算”这么简单了，背后往往还藏着不等式、函数、几何直觉等不同层面的思维训练。

当然，这也不算奇怪，几十年前的 IMO 试题放现在也就普通题。很多经典数学竞赛题，随着时间推移和教学资源普及，早已从高阶技巧逐渐变成了基础训练的一部分。

前几天我就反复刷到一道“求极值”的题，看起来不难，但这道题其实非常适合拿来练习数学直觉。

已知 \(x + y = 5\) ，求 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {y + 3}\) 的最大值。

看到这道题，首先想到的几何意义其实是将军饮马模型，但将军饮马问题求得是最小值问题。那最大值该怎么求呢？最大值的几何意义是什么呢？

这道题的有趣之处在于可以用很多完全不同的思路来解决，有的解法只需要代数变形和基本不等式，也可以使用几何视角、函数思想。

下面就道题为例，把几种典型解法都梳理一遍，也顺便重新锻炼一下自己的数学思维。

解法一：常规解法

由 \(y = 5 - x\) ，原式变成 \(\sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，要保证根号有意义，所以 \(−1 \le x \le 8\) 。

设 \(S = \sqrt {x + 1} + \sqrt {8 - x}\) ，两边平方得 \(S^2 = (\sqrt{x + 1} + \sqrt{8 - x})^2\) 。

展开可得：

\[ \begin{aligned} S^2 & = (x + 1) + (8 - x) + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {(x + 1)(8 - x)} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-x^2 + 7x + 8} \\ & = 9 + 2 \sqrt {-(x - \frac {7}{2})^2 + \frac {81}{4}} \end{aligned} \]

因此 \(S^2 \le 9 + 2 \times \dfrac {9}{2} = 18\) ，于是 \(S \le 3 \sqrt 2\) 当且仅当 \(x = \dfrac {7}{2}\) 时取等号。

故最大值为 \(3\sqrt2\) 。

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By Long Luo

在上一篇文章我们剖析了 拼多多 2020 年校招笔试算法题中第一题: 多多的魔术盒子 ，今天来挑战下其中的第 4 题：骰子期望 1 ，题目如下：

骰子期望

扔 \(n\) 个骰子，第 \(i\) 个骰子有可能投掷出 \(X_i\) 种等概率的不同的结果，数字从 \(1\) 到 \(X_i\) 。所有骰子的结果的最大值将作为最终结果。求最终结果的期望。

  • 输入描述:
    • 第一行一个整数 \(n\) ，表示有 \(n\) 个骰子。( \(1 \le n \le 50\) )
    • 第二行 \(n\) 个整数，表示每个骰子的结果数 \(X_i\) 。( \(2 \le X_i \le 50\) )
  • 输出描述:
    • 输出最终结果的期望，保留两位小数。
  • 输入例子 \(1\) :
    • 2
    • 2 2
  • 输出例子 \(1\) :
    • 1.75

要解答这道题，我们需要先从脑海里把中学数学知识捡起来，弄清楚什么是期望 2？

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的数学期望是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和：

\[ \operatorname {E} [X] = \sum _{i=1}^{\infty }x_{i}\,p_{i} \tag{1} \label{1} \]

具体到这道题示例 \(1\) ，很明显 \(2\) 个骰子只能取到 \(1\) 或者 \(2\) 个值：

  1. 假设这 \(2\) 个骰子取到的最大值为 \(1\) ，那么这 \(2\) 个骰子都只能选择 \(1\) ，概率为： \(\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} = \dfrac {1}{4}\) ；

  2. 假设这 \(2\) 个骰子取到的最大值为 \(2\) ，那么存在 \(2\) 种可能，要么都取 \(2\) 或者 \(2\) 个骰子中有一个骰子投出了 \(2\) ，其概率为： \(\dfrac {1}{2} \times \dfrac {1}{2} + \dfrac {1}{2} \times 1 = \dfrac {3}{4}\) 。

那么期望为： \(\dfrac {1}{4} \times 1 + \dfrac {3}{4} \times 2 = 1.75\) 。

对于骰子数少的时候还可以枚举，如果骰子数量很多呢？用上述方法就会遇到困难，比如有 \(N\) 个骰子，最大值为 \(M\) ，那么骰子结果为 \([1, 2, \dots, M]\) ，如何计算每个结果的概率值呢？

直接算当然是可行的，但是如果骰子数量很多的话，计算会非常繁琐，所以有没有更简单的方法呢？

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