CORDIC算法：一种高效计算三角函数值的方法

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By Long Luo

任何一款科学计算器上都可以计算三角函数，三角函数应用于生活工作中的方方面面，但计算机是如何计算三角函数值的呢？

三角函数本质上是直角三角形的3条边的比例关系，计算并没有很直观，那么计算机是如何计算三角函数值的呢？

在微积分中我们学习过 泰勒公式 ，我们知道可以使用泰勒展开式来对某个值求得其近似值，例如：

sin⁡∠18∘=5−14≈0.3090169943\sin \angle 18^{\circ} = \frac{\sqrt {5} - 1}{4} \approx 0.3090169943

利用泰勒公式，取前 44 项：

sin⁡x≈x−x33!+x55!−x77!\sin x \approx x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!}

代入可得：

sin⁡∠18∘=sin⁡π10=π10−16(π10)3+1120(π10)5−15040(π10)7≈0.30903399538\sin \angle 18^{\circ} = \sin \frac{\pi}{10} = \frac{\pi}{10} - \frac{1}{6} (\frac{\pi}{10})^3 + \frac{1}{120} (\frac{\pi}{10})^5 - \frac{1}{5040} (\frac{\pi}{10})^7 \approx 0.30903399538

可见取前 44 项时精度已经在 10−510^{-5} 之下，对于很多场合精度已经足够高了。

在没有了解 CORDIC(Coordinate Rotation Digital Computer) Algorithm [1] 算法之前，我一直以为计算器是利用泰勒公式去求解，最近才了解到原来在计算机中，CORDIC 算法远比泰勒公式高效。

下面我们就来了解下泰勒公式的不足之处和 CORDIC 算法是怎么做的。

泰勒公式的缺点

上一节我们使用泰勒公式去计算三角函数值时，需要做很多次乘法运算，而计算器中乘法运算是很昂贵的，其缺点如下所示：

  1. 展开过小则会导致展开精度不够，展开过大则会导致计算量过大；
  2. 幂运算需要使用乘法器，存在很多重复计算；
  3. 需要很多变量来存储中间值。

在之前的文章 矩阵乘法的 Strassen 算法 ，就是通过减少乘法，多做加法，从而大大降低了运算量，那么我们可以用相同的思想来优化运算吗？

当然可以，让我们请出今天的主角：CORDIC 算法。

解析 CORDIC 算法

我们知道单位圆上一点 PP ，其坐标为：(cos⁡θ,sin⁡θ)(\cos \theta , \sin \theta ) ，如下图所示：

Unit Cycle

如果我们接收一个旋转向量 MinM_{in} 逆时针旋转 θ\theta ，将点 P(xin,yin)P(x_{in} , y_{in}) 旋转到 P′(xR,yR)P'(x_{R} , y_{R}) , 如下图所示：

CORDIC

很容易得到如下公式：

xR=xincos(θ)−yinsin(θ)x_R = x_{in} cos(\theta) - y_{in} sin(\theta)

yR=xinsin(θ)+yincos(θ)y_R = x_{in} sin(\theta) + y_{in} cos(\theta)

实际上由 复数运算 ，我们知道复数乘法就是幅角相加，模长相乘。我们可以将上式写成下列矩阵运算形式：

[xRyR]=[cos⁡(θ)−sin⁡(θ)sin⁡(θ)cos⁡(θ)][xinyin]\begin{aligned} \begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \cos (\theta) & -\sin (\theta) \\ \sin (\theta) & \cos (\theta ) \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix} \end{aligned}

但上式运算时，只是对向量 vin=[xinyin]v_{in} = {\begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}} 进行了线性变换，乘以一个旋转向量 MinM_{in} ，得到了旋转后的结果：向量 vR=[xRyR]v_{R} = {\begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix}} 。

但是上式仍然需要 44 次乘法和 22 次加减法操作， 复杂度没有任何降低，那怎么办呢？

当当…当！

通过上述分析，我们已经知道可以使用有限次旋转操作来避免复杂的乘法操作，我们修改矩阵运算公式，提取 cos⁡(θ)\cos (\theta ) ，则公式可以修改为：

[xRyR]=cos(θ)[1−tan(θ)tan(θ)1][xinyin]\begin{bmatrix} x_{R} \\ y_{R} \end{bmatrix} = cos(\theta) \begin{bmatrix} 1 & -tan(\theta) \\ tan(\theta) & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}

如果我们选择合适的角度值 θi\theta_i，使得

tan⁡(θi)=2−i,i=0,1,…,n\tan (\theta_{i}) = 2^{-i} , i=0, 1,\dots , n

这样和 tan⁡(θi)\tan (\theta_{i}) 乘法操作就变成了移位操作，我们知道计算机中移位操作是非常快的，就可以大大加快计算速度了。

但这里仍然有 33 个问题需要解决：

  1. 对于任意角度 ，可以通过满足条件的角度累加来得到在数学上相同的结果吗？
  2. 每次旋转得到的结果仍然需要乘以 cos⁡(θ)\cos(\theta ) ，这部分的计算成本如何？如何计算？
  3. 因为每次旋转角度 θ=arctan⁡(2−i)\theta = \arctan(2^{-i}) ，朝着目标角度进行旋转时，可能会出现没有超过目标角度的情况，也会存在超过目标角度的情况，这种情况如何解决呢？

CORDIC Expand

对于第一个问题，答案是否定的。可以从数学上证明只有 ∠45∘\angle 45^{\circ} 的倍数角才可以得到完全一致的结果。但是在工程应用中，我们只需要满足一定精度即可，可以增加迭代次数无限逼近原始角度，如下所示提高 nn 值以无限逼近原始角度。

θd=∑i=0nθi,∀tan⁡(θi)=2−i\theta_{d} = \sum_{i=0}^{n} \theta_{i} , \forall \tan(\theta_{i}) = 2^{-i}

对于第二个问题，我们先来个例子，以 57.535∘57.535^{\circ} 为例来看看求解过程：

57.535∘=45∘+26.565∘−14.03∘57.535^{\circ} = 45^{\circ}+26.565^{\circ}-14.03^{\circ}

那么第一次旋转：

[x0y0]=cos(45∘)[1−111][xinyin]\begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix} = cos(45^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}

第二次旋转：

[x1y1]=cos(26.565∘)[1−2−12−11][x0y0]\begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{bmatrix} = cos(26.565^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & -2^{-1} \\ 2^{-1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{0} \\ y_{0} \end{bmatrix}

第三次旋转：

[x2y2]=cos(−14.03∘)[12−2−2−21][x1y1]\begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{bmatrix} = cos(-14.03^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & 2^{-2} \\ -2^{-2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{1} \\ y_{1} \end{bmatrix}

综合可得：

[x2y2]=cos(45∘)cos(26.565∘)cos(−14.03∘)[1−111][1−2−12−11][12−2−2−21][xinyin]\begin{bmatrix} x_{2} \\ y_{2} \end{bmatrix} = cos(45^{\circ}) cos(26.565^{\circ}) cos(-14.03^{\circ}) \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & -2^{-1} \\ 2^{-1} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2^{-2} \\ -2^{-2} & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_{in} \\ y_{in} \end{bmatrix}

因为 tan⁡(θi)=2−i\tan (\theta_{i}) = 2^{-i} ，由三角公式可以计算出：

cos⁡(θi)=11+tan⁡2(θi)=11+2−2i\cos(\theta_{i}) = \frac {1}{\sqrt {1 + \tan ^{2}(\theta_{i})}} = \frac {1}{\sqrt {1 + 2^{-2i}}}

令 Ki=cos⁡(θi)K_i = \cos(\theta_{i}) ，则当进行 nn 次迭代之后：

K(n)=∏i=0n−1Ki=∏i=0n−111+2−2i K(n) = \prod _{i=0}^{n-1}K_{i} = \prod _{i=0}^{n-1}{\frac {1}{\sqrt {1 + 2^{-2i}}}}

当 θi\theta_{i} 越来越小时， cos⁡θ\cos \theta 也越来越逼近 11 ，当迭代次数 n→∞n \to \infty ， K(n)K(n) 极限存在，求解可得：

K=lim⁡n→∞K(n)≈0.6072529350088812561694K = \lim _{n \to \infty }K(n) \approx 0.6072529350088812561694

由 KK 我们实际上可以得到最终的向量 vRv_R 的模长极限为：

A=1K=lim⁡n→∞∏i=0n−11+2−2i≈1.64676025812107A = {\frac {1}{K}} = \lim _{n \to \infty } \prod _{i=0}^{n - 1}{\sqrt {1 + 2^{-2i}}} \approx 1.64676025812107

实际上当迭代次数为 66 时，可以计算出缩放比例 KK ，就已经精确到 0.60720.6072 了，如下所示：

K≈cos(45∘)cos(26.565∘)×⋯×cos(0.895∘)=0.6072K \approx cos(45^{\circ}) cos(26.565^{\circ}) \times \dots \times cos(0.895^{\circ}) = 0.6072

实际上，任意角度只要迭代次数超过 66 ，我们可以直接使用 K=0.6072K = 0.6072 这个值。

对于第三个问题，稍微有点复杂，我们在下一节继续讲解！

角度累加

上一节遗留的问题是迭代旋转角度时，旋转角度不一定会落在目标角度内，我们需要引入一个角度误差，用来衡量旋转角度和目标角之间距离，如下所示：

θerror=θd−∑i=0nθi\theta_{error} = \theta_d - \sum_{i=0}^{n} \theta_{i}

当 θerror>0\theta_{error} > 0 时，我们应该逆时针旋转，而 θerror<0\theta_{error} < 0 ，则顺时针旋转。根据精度需要，当 ∣θerror∣≤ϵ\left | \theta_{error} \right | \le \epsilon 即可退出迭代。

同时我们修改之前的公式，引入 σi∈{+1,−1}\sigma_{i} \in \left \{ +1, -1 \right \} ，于是可以得到最终公式：

x[i+1]=x[i]−σi2−iy[i]x \left [ i+1 \right ] = x \left [ i \right ] - \sigma_{i} 2^{-i} y \left [ i \right ]

y[i+1]=y[i]+σi2−ix[i]y \left [ i+1 \right ] = y \left [ i \right ] + \sigma_{i} 2^{-i} x \left [ i \right ]

z[i+1]=z[i]−σitan−1(2−i)z \left [ i+1 \right ] = z \left [ i \right ] - \sigma_{i} tan^{-1} ( 2^{-i} )

举个例子

上面讲了这么多，来个实例吧，练习巩固下知识，看看自己是否真的懂了？

计算 sin⁡70∘\sin 70^{\circ} 和 cos⁡70∘\cos 70^{\circ} 的值。

从 xin=1,yin=0x_{in}=1, y_{in} = 0 开始，迭代 66 次结果如下：

第 ii 次迭代 σi\sigma_{i} x[i]x \left[ i \right ] y[i]y \left[ i \right ] z[i]z \left[ i \right ]
- - 11 00 70∘70^{\circ}
00 11 11 11 25∘25^{\circ}
11 11 0.50.5 1.51.5 −1.5651∘-1.5651^{\circ}
22 −1-1 0.8750.875 1.3751.375 12.4711∘12.4711^{\circ}
33 11 0.70310.7031 1.48441.4844 5.3461∘5.3461^{\circ}
44 11 0.61030.6103 1.52831.5283 1.7698∘1.7698^{\circ}
55 11 0.56250.5625 1.54741.5474 −0.0201∘-0.0201^{\circ}
66 −1-1 0.58670.5867 1.53861.5386 0.8751∘0.8751^{\circ}

迭代到第 66 次时，角度误差已经小于 1∘1^{\circ} 了， 通过表格可知：

xR=0.6072×0.5867=0.3562x_{R} = 0.6072 \times 0.5867 = 0.3562

yR=0.6072×1.5386=0.9342y_{R} = 0.6072 \times 1.5386 = 0.9342

通过计算器可知，cos⁡(70∘)=0.34202\cos(70^{\circ}) = 0.34202 ，sin⁡(70∘)=0.93969\sin(70^{\circ}) = 0.93969 ，误差已经在 1100\frac {1}{100} 之下了，实际应用中我们会迭代 1616 次，误差会非常小。

在线 CORDIC 算法Demo

通过上面分析，我们已经知道了 CORDIC 算法的原理，下面就开始编程吧！

用 JavaScript 写了一个在线互动版本，传送门 → ：

  1. 可以调整不同迭代次数，和系统库函数 Math.cos\textit{Math.cos} ，Math.sin\textit{Math.sin} 进行比较：

Cordic Results

  1. 可以查看每次迭代的结果，掌握 Cordic 算法迭代原理：

Cordic Iteration Results

CORDIC 算法的优点

CORDIC 算法相比其他算法的优点，体现在以下几个方面：

  1. 简化运算：CORDIC 算法主要使用位移、加法和减法等简单的运算，避免了复杂的乘法操作，从而提高了计算速度；
  2. 并行计算：CORDIC 算法的迭代操作是相互独立的，可以进行并行计算，利用现代计算机的多核优势，进一步提升计算效率；
  3. 硬件优化：CORDIC 算法适用于硬件实现，可以通过专用硬件电路（如FPGA）进行加速，极大地提高计算速度；
  4. 低存储需求：CORDIC 算法只需存储一小组预先计算好的旋转角度，节省了存储空间；
  5. 迭代控制：通过控制迭代次数，可以平衡计算精度和计算速度，根据需求进行调整。

总结

CORDIC 算法是一种高效计算三角函数值的方法。相比传统的泰勒展开式，它具有简单高效、低存储需求和迭代控制等优势。在需要计算三角函数值的应用中，CORDIC 算法更快速、更节省资源。

参考文献

  1. CORDIC ↩︎