我们常见的地图是如何绘制的？墨卡托投影是什么？

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By Long Luo

最近在书店里看到一本 《数学的奥秘》 ，原著是 《The Secret Life of Equations: The 50 Greatest Equations and How They Work》 ，讲的是最伟大的数学方程式起源、构成、含义和应用。书的内容并不多，我看了其中的一部分，里面有讲 墨卡托投影(Mercator projection)[1] 。

我对地理和地图一直很感兴趣，但之前对原理一直一知半解的，只知道我们常见的地图都是墨卡托投影，由墨卡托[2] 在 1569年创立。但墨卡托投影的原理是什么却并不清楚。书里面只有几页，但具体公式缺乏说明及推导过程，所以这几天通过查找资料掌握了墨卡托投影的原理。

如何绘制地图？

在大航海时代，航海家可以通过六分仪和观察日月星辰获取到经纬度，但在茫茫大海中迷失方向是很可怕的事情，如何才能正确的航行到目的地呢？

地球由于自转是一个两极比赤道略短的扁球体，但扁率约为 1/3001/300 ，非常之低，因为可以视为球体。因为球面不是可展曲面，也就是如果展成平面的话，长度会发生形变，所以也会形变。因为根据高斯绝妙定理（Gauss theorem egregium）[3] ，平面的高斯曲率为 00 ，而球面的高斯曲率为 1R2\frac{1}{R^2} ，其中 RR 为球面半径，所以在保持图形完整性前提下，将球面转化为平面，投影后得到的经纬线网形状必然会产生变形，也就是说，在投影的过程中，变形是必然存在的。

在这种情况下，墨卡托运用等角圆柱投影法绘制了航海图，极大地方便了航海家。有了墨卡托海图，航海家想要到达某个目的地，只需要在出发点和目的地之间连一条直线，量出这条航线和经线的夹角，按照航行路线就能到达目的地。

Map Mercator Projection

什么是墨卡托投影？

设想将地球置于在一中空的圆柱里，如下图所示，其基准纬线（赤道）与圆柱相切。再设想地球中心处放置一灯泡，那么从球心处发射的光线会把球面上的图形投影到圆柱体上，之后再将把圆柱体展开，那么就可以得到一张墨卡托投影绘制出的地图。

Mercator Projection

墨卡托公式的推导

设 P(lng,lat)P(lng, lat) 表示投影前的球面上的点，在数学上我们常使用弧度制，则表示为 P(λ,φ)P(\lambda , \varphi ) ，其中 λ=lng⋅π180\lambda = lng \cdot \frac{\pi}{180} ，φ=lat⋅π180\varphi = lat \cdot \frac{\pi}{180} ，所以墨卡托投影就是将球面上的 P(λ,φ)P(\lambda , \varphi ) 转换为平面直角坐标系 P′(x,y)P' (x, y) ，即定义为下面的一个映射：

f:P→P′f: P \rightarrow P'

那么则有函数 fxf_x 和 fyf_y ：

{x=fx(λ,φ)y=fy(λ,φ)\left\{ \begin{aligned} x &= f_x(\lambda , \varphi ) \\ y &= f_y(\lambda , \varphi ) \\ \end{aligned} \right.

如下图，图中由经纬线分割出的方块区域 □KPMQ\Box KPMQ 映射为 □K′P′M′Q′\Box K'P'M'Q' ，如果 PP 和 QQ 点足够近的话，那么 □KPMQ\Box KPMQ 可以近似为矩形。

Infinity small

PP 的经纬度为 [λ,φ][\lambda , \varphi ] ，相邻点 QQ 的经纬度为 [λ+dλ,φ+dφ][\lambda + \mathrm{d}\lambda , \varphi + \mathrm{d}\varphi] ，那么平行赤道的纬线所在圆的半径 r=Rcos⁡φr = R \cos \varphi ，则有圆弧：

PM=r×dλ=Rcos⁡φdλPM = r \times \mathrm{d} \lambda = R \cos \varphi \mathrm{d} \lambda

，圆弧 PK=RdφPK = R \mathrm{d} \varphi 。投影变换后平面上的矩形长宽分别为 dx\mathrm{d} x 和 dy\mathrm{d} y 。

在变换后，在微观局部应该保持长宽比例不变，那么：

R⋅dφdy=R⋅cosφ⋅dλdx\frac{R \cdot \mathrm{d} {\varphi}}{\mathrm{d} y} = \frac{R \cdot cos \varphi \cdot \mathrm{d} \lambda }{\mathrm{d} x}

另外也可以根据墨卡托投影是等角投影[4]， ∠α=∠β\angle \alpha = \angle \beta ，则有：

tan∠α≈PMQM=Rcos⁡φdλRdφtan \angle \alpha \approx \frac{PM}{QM} = \frac{R \cos \varphi \mathrm{d} \lambda }{R \mathrm{d} \varphi }

tan∠β=P′M′Q′M′=dxdytan \angle \beta = \frac{P'M'}{Q'M'} = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}

那么：

Rcos⁡φdλRdφ=dxdy\frac{R \cos \varphi \mathrm{d} \lambda }{R \mathrm{d} \varphi } = \frac{\mathrm{d} x}{\mathrm{d} y}

显然同一条经线上的点，变换到墨卡托之后横坐标相同，而横坐标的值就是赤道弧线划过的长度，所以 x=R⋅λx = R \cdot \lambda，那么 dx=R×dλ\mathrm{d} x = R \times \mathrm{d} \lambda 。

消掉 dx\mathrm{d} x 和 dλ\mathrm{d} \lambda ，可得：

{x′(λ)=Ry′(φ)=R⋅1cos⁡φ⋅dφ=Rsec⁡φ\left \{ \begin{aligned} x'(\lambda ) &= R \\ y'(\varphi ) &=R \cdot \frac{1}{\cos \varphi } \cdot \mathrm{d} {\varphi} = R \sec \varphi \\ \end{aligned} \right.

对上式积分可得：

∫dy=R∫1cos⁡φdφ=R∫sec⁡φdφ=Rln⁡(sec⁡φ+tan⁡φ)+C\int dy = R \int \frac{1}{ \cos \varphi} d\varphi = R \int \sec \varphi d \varphi = R \ln(\sec \varphi + \tan \varphi ) + C

可得：

y=Rln⁡tan⁡(π4+φ2)+Cy = R \ln \tan(\frac{\pi}{4} + \frac{\varphi }{2}) + C

根据初始条件可知 C=0C = 0 ，所以等角投影的公式：

{x=R(λ−λ0)y=Rln⁡[tan⁡(π4+φ2)]\left \{ \begin{aligned} x &= R(\lambda -\lambda _{0}) \\ y &= R\ln \left[\tan \left({\frac {\pi }{4}} + {\frac {\varphi }{2}}\right)\right] \\ \end{aligned} \right.

等角航线

之前讲过墨卡托投影的地图上，经线投影成一组平行线，两地之间的等方位角曲线（Rhumb line），在地图上是一条直线。航海家只需要保持方位角不变，不改变航线即可达到终点，所以在航海中得到广泛应用。但这条航线并不是两地之间的最短航线，我们知道球面上两点间最短距离是通过两点间大圆的劣弧，如下图所示。在航海或航空中，运用此特性而走最短距离的航线叫做大圆航线（Great Circle Route）。

Big Arc

参考文献

  1. Mercator projection ↩︎

  2. Gerardus Mercator ↩︎

  3. 高斯绝妙定理 ↩︎

  4. Mercator Projection ↩︎