如何巧记泰勒展开式?

By Long Luo

在数学、物理学、工程和计算机领域中,泰勒公式[1] 是一种广泛使用的分析方法,用来计算函数的近似值。在实践中,很多函数非常复杂,而且某些函数是不可积的,想求其某点的值,直接求无法实现。

泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数,用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

下图所示就是不同项数的泰勒公式对 sinx\sin x 的逼近:

768px-Sintay

泰勒级数的定义为:

f(x)=n=0f(n)(a)n!(xa)n=f(a)+f(a)1!(xa)+f(a)2!(xa)2+f(a)3!(xa)3+f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2} + {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots

这里,n!n! 表示 nn 的阶乘,而 f(n)(a)f^{(n)}(a) 表示函数 ff 在点 aa 处的 nn 阶导数。如果 a=0a = 0 ,这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series)[2]

泰勒展开式有很多,那么如何记忆呢?首先我们需要明白,泰勒公式之间都是有相互关联的,我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络[3]

下面我们就推导这些公式,以便更好的记忆[4]

几何级数 Geometric series

对于 1<x<1-1 < x < 1 的情况,几何级数[5] 由等比数列求和公式可得:

11x=n=0xn=1+x+x2++xn\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n}

x-x 代入 xx 上式,则:

11+x=n=0(1)nxn=1x+x2x3++(1)nxn\frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3 + \cdots + (-1)^n x^{n}

x2x^2 替代 xx , 由于 arctanx=0x11+x2dx\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x ,对于 1x1,x±i-1 \le x \le 1, x \neq \pm i

arctanx=n=0(1)n2n+1x2n+1=xx33+x55+(1)n2n+1x2n+1\arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} = x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1}

因为 1(1x)2=(11x)\frac{1}{(1 - x)^2} = (\frac{1}{1 - x})' ,则:

1(1x)2=n=1nxn1=1+2x+3x2++nxn1\begin{aligned} \frac {1}{(1-x)^2} &= \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1} \end{aligned}

1(1x)3=12(1(1x)2)\frac{1}{(1 - x)^3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{(1 - x)^2})' ,则有:

1(1x)3=n=2n(n1)2xn2\frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n - 2}

指数函数 Exponent function

由于 dexdx=ex\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^xe0=1e^0 = 1 那么:

ex=n=0xnn!=1+x+x22!+x33!++xnn!e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac{x^2}{2!}} + {\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac{x^n}{n!}}

很明显:

(ex)=(10!+x1!+x22!+x33!+)ex=0+1+x1+x22!+x33!=1+x+x22!+x33!+\begin{aligned} (e^x)' &= (\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)' \\ e^x &= 0+1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots \\ &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \end{aligned}

对于普通指数函数 axa^x , 由于 ax=exlnaa^x=e^{x\ln a} ,如果将 xx 换为 xlnax\ln a ,那么 axa^x 的泰勒展开式:

ax=exlna=1+xlna+(xlna)22!+(xlna)33!++(xlna)nn!\begin{aligned} a^x &= e^{x \ln a} \\ &= 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \cdots + \frac{(x \ln a)^n}{n!} \\ \end{aligned}

三角级数 Trigonometric functions

由欧拉公式 ex=cosx+isinxe^x = \cos x + i \sin x ,可以推导 sinx\sin xcosx\cos x 的泰勒展开式:

sinx\sin x奇函数,只有奇数项sin0=1\sin 0 = 1 ,同时 1sinx1-1 \le \sin x \le 1 ,所以不同多次项的正负号要依次出现:

sinx=n=0(1)n(2n+1)!x2n+1=xx33!+x55!x77!++(1)nx2n+1(2n+1)!\sin x = \sum _{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}

sinx\sin x 求导为 cosx\cos x ,同时 cosx\cos x偶函数,只有偶数项cos0=1\cos 0 = 1

cosx=dsinxdx=1x22!+x44!x66!++(1)nx2n(2n)!\begin{aligned} \cos x &= \frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ \end{aligned}

自然对数 Natural logarithm

由几何级数求和公式:

11x=n=0xn=1+x+x2++xnx(1,1)\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \quad \forall x \in (-1, 1)

代入 (1x)(1- x)1x\frac{1}{x}a=1a = 1 的泰勒展开式为:

1x=n=0(1x)n=1(x1)+(x1)2++(1)n(x1)nx(0,2)\frac{1}{x} = \sum _{n=0}^{\infty}(1 - x)^{n} = 1 - (x - 1) + (x - 1)^{2} + \cdots + (-1)^n(x - 1)^{n} \quad \forall x \in (0, 2)

因为 ddx(ln(1x))=11x\frac {d}{dx}(ln(1-x)) = \frac {-1}{1-x}x<1x < 1 ,则:

11x=(1x)1=(1+x+x2+x3++xn)\frac{-1}{1-x} = -(1 - x)^{-1} = -(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n)

所以 ln(1x)\ln (1 - x) 泰勒展开式:

ln(1x)=xx22x33x44\ln (1 - x) = -x - \frac {x^2}{2} - \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4} - \cdots

用 $ 1- x$ 代入上式 xx ,则 lnx\ln xa=1a = 1 的泰勒展开式为:

ln(x)=n=1(1)n1(x1)nn=(x1)12(x1)2+13(x1)314(x1)4+\ln (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \frac{(x - 1)^n}{n} = (x - 1) - {\tfrac {1}{2}}(x - 1)^{2} + {\tfrac {1}{3}}(x - 1)^{3} - {\tfrac {1}{4}}(x - 1)^{4} + \cdots

对于 1<x1-1 < x \le 1ln(1+x)=11+xdx\ln (1 + x) = \int \frac{1}{1 + x} \mathrm{d}x ,那么:

ln(1+x)=n=1(1)n+1nxn=xx22+x33+(1)n+1nxn\begin{aligned} \ln(1 + x) &= \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}x^{n} \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \cdots + \frac {(-1)^{n + 1}}{n}x^n \end{aligned}

那么对于 1x<1-1 \le x < 1 ,则有:

ln(1x)=n=1xnn=xx22x33xnn\begin{aligned} \ln(1 - x) &= -\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n}} \\ &= -x - \frac {x^2}{2} - \frac {x^3}{3} -\cdots - \frac {x^n}{n} \end{aligned}

0<x10 < x \le 1lnx=ln(1+(x1))\ln x = \ln (1 + (x - 1)) ,则:

lnx=n=1(1)n+1nxn=(x1)(x1)22+(x1)33+(1)n+1nxn\ln x = \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}x^{n} = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac {(x - 1)^3}{3} - \cdots + \frac {(-1)^{n + 1}}{n}x^n

二项式 Binomial series

1x1-1 \le x \le 1 时,对于任意 αC\alpha \in \mathbb {C} ,由二项式定理[6] 即可得:

(1+x)α=n=0(αn)xn=1+αx+α(α1)2!x2++α(α1)(αn+1)n!xn\begin{aligned} (1 + x)^{\alpha} &= \sum _{n=0}^{\infty}{\binom{\alpha}{n}}x^{n} \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}x^{n} \end{aligned}

其中:

(αn)=k=1nαk+1k=α(α1)(αn+1)n!{\binom {\alpha}{n}} = \prod _{k = 1}^{n}{\frac{\alpha - k + 1}{k}} = {\frac {\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}}

参考文献


  1. Taylor series ↩︎

  2. Maclaurin Series ↩︎

  3. 带余项的泰勒公式、欧拉-麦克劳林公式的推导 ↩︎

  4. 泰勒展开的公式怎么记忆? ↩︎

  5. Geometric series ↩︎

  6. Binomial coefficient ↩︎