从记忆到洞察：轻松掌握泰勒展开式(Taylor Series)的记忆技巧

By Long Luo

在数学、物理学、工程和计算机领域中，泰勒公式^[1] 是一种广泛使用的分析方法，用来计算函数的近似值。在实践中，很多函数非常复杂，而且某些函数是不可积的，想求其某点的值，直接求无法实现。

泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

下图所示就是不同项数的泰勒公式对 $\sin x$ 的逼近：

泰勒级数的定义为：

$$f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2} + {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots$$

这里，$n!$ 表示 $n$ 的阶乘，而 $f^{(n)}(a)$ 表示函数 $f$ 在点 $a$ 处的 $n$ 阶导数。如果 $a = 0$ ，这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series)^[2] 。

泰勒展开式有很多，那么如何记忆呢？首先我们需要明白，泰勒公式之间都是有相互关联的，我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络^[3] 。

下面我们就推导这些公式，以便更好的记忆^[4] ！

几何级数 Geometric series

对于 $-1 < x < 1$ 的情况，几何级数^[5] 由等比数列求和公式可得：

$$\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n}$$

用 $-x$ 代入 $x$ 上式，则：

$$\frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3 + \cdots + (-1)^n x^{n}$$

用 $x^2$ 替代 $x$ , 由于 $\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x$ ，对于 $-1 \le x \le 1, x \neq \pm i$ ，

$$\arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} = x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1}$$

因为 $\frac{1}{(1 - x)^2} = (\frac{1}{1 - x})'$ ，则：

$$\begin{aligned} \frac {1}{(1-x)^2} &= \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1} \end{aligned}$$

同 $\frac{1}{(1 - x)^3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{(1 - x)^2})'$ ，则有：

$$\frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n - 2}$$

指数函数 Exponent function

由于 $\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^x$ ，$e^0 = 1$ 那么：

$$e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac{x^2}{2!}} + {\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac{x^n}{n!}}$$

很明显：

$$\begin{aligned} (e^x)' &= (\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)' \\ e^x &= 0+1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots \\ &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \end{aligned}$$

对于普通指数函数 $a^x$ , 由于 $a^x=e^{x\ln a}$ ，如果将 $x$ 换为 $x\ln a$ ，那么 $a^x$ 的泰勒展开式：

$$\begin{aligned} a^x &= e^{x \ln a} \\ &= 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \cdots + \frac{(x \ln a)^n}{n!} \\ \end{aligned}$$

三角级数 Trigonometric functions

由欧拉公式 $e^x = \cos x + i \sin x$ ，可以推导 $\sin x$ 和 $\cos x$ 的泰勒展开式：

$\sin x$ 是奇函数，只有奇数项，$\sin 0 = 1$ ，同时 $-1 \le \sin x \le 1$ ，所以不同多次项的正负号要依次出现：

$$\sin x = \sum _{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}$$

$\sin x$ 求导为 $\cos x$ ，同时 $\cos x$ 是偶函数，只有偶数项，$\cos 0 = 1$ ，

$$\begin{aligned} \cos x &= \frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ \end{aligned}$$

自然对数 Natural logarithm

由几何级数求和公式：

$$\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \quad \forall x \in (-1, 1)$$

代入 $(1- x)$ 则 $\frac{1}{x}$ 在 $a = 1$ 的泰勒展开式为：

$$\frac{1}{x} = \sum _{n=0}^{\infty}(1 - x)^{n} = 1 - (x - 1) + (x - 1)^{2} + \cdots + (-1)^n(x - 1)^{n} \quad \forall x \in (0, 2)$$

因为 $\frac {d}{dx}(ln(1-x)) = \frac {-1}{1-x}$ ，$x < 1$ ，则：

$$\frac{-1}{1-x} = -(1 - x)^{-1} = -(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n)$$

所以 $\ln (1 - x)$ 泰勒展开式：

$$\ln (1 - x) = -x - \frac {x^2}{2} - \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4} - \cdots$$

用 $ 1- x$ 代入上式 $x$ ，则 $\ln x$ 在 $a = 1$ 的泰勒展开式为：

$$\ln (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \frac{(x - 1)^n}{n} = (x - 1) - {\tfrac {1}{2}}(x - 1)^{2} + {\tfrac {1}{3}}(x - 1)^{3} - {\tfrac {1}{4}}(x - 1)^{4} + \cdots$$

对于 $-1 < x \le 1$ ，$\ln (1 + x) = \int \frac{1}{1 + x} \mathrm{d}x$ ，那么：

$$\begin{aligned} \ln(1 + x) &= \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}x^{n} \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \cdots + \frac {(-1)^{n + 1}}{n}x^n \end{aligned}$$

那么对于 $-1 \le x < 1$ ，则有：

$$\begin{aligned} \ln(1 - x) &= -\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n}} \\ &= -x - \frac {x^2}{2} - \frac {x^3}{3} -\cdots - \frac {x^n}{n} \end{aligned}$$

当 $0 < x \le 1$ ， $\ln x = \ln (1 + (x - 1))$ ，则：

$$\ln x = \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}x^{n} = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac {(x - 1)^3}{3} - \cdots + \frac {(-1)^{n + 1}}{n}x^n$$

二项式 Binomial series

当 $-1 \le x \le 1$ 时，对于任意 $\alpha \in \mathbb {C}$ ，由二项式定理^[6] 即可得:

$$\begin{aligned} (1 + x)^{\alpha} &= \sum _{n=0}^{\infty}{\binom{\alpha}{n}}x^{n} \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}x^{n} \end{aligned}$$

其中：

$${\binom {\alpha}{n}} = \prod _{k = 1}^{n}{\frac{\alpha - k + 1}{k}} = {\frac {\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}}$$

参考文献

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1. Taylor series ↩︎

2. Maclaurin Series ↩︎

3. 带余项的泰勒公式、欧拉-麦克劳林公式的推导 ↩︎

4. 泰勒展开的公式怎么记忆？ ↩︎

5. Geometric series ↩︎

6. Binomial coefficient ↩︎