By Long Luo
在数学、物理学、工程和计算机领域中,泰勒公式 是一种广泛使用的分析方法,用来计算函数的近似值。在实践中,很多函数非常复杂,而且某些函数是不可积的,想求其某点的值,直接求无法实现。
泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数,用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。
下图所示就是不同项数的泰勒公式对 sinx 的逼近:

泰勒级数的定义为:
f(x)=n=0∑∞n!f(n)(a)(x−a)n=f(a)+1!f′(a)(x−a)+2!f′′(a)(x−a)2+3!f′′′(a)(x−a)3+⋯
这里,n! 表示 n 的阶乘,而 f(n)(a) 表示函数 f 在点 a 处的 n 阶导数。如果 a=0 ,这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series) 。
泰勒展开式有很多,那么如何记忆呢?首先我们需要明白,泰勒公式之间都是有相互关联的,我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络 。
下面我们就推导这些公式,以便更好的记忆 !
几何级数 Geometric series
对于 −1<x<1 的情况,几何级数 由等比数列求和公式可得:
1−x1=n=0∑∞xn=1+x+x2+⋯+xn
用 −x 代入 x 上式,则:
1+x1=n=0∑∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn
用 x2 替代 x , 由于 arctanx=∫0x1+x21dx ,对于 −1≤x≤1,x=±i ,
arctanx=n=0∑∞2n+1(−1)nx2n+1=x−3x3+5x5−⋯+2n+1(−1)nx2n+1
因为 (1−x)21=(1−x1)′ ,则:
(1−x)21=n=1∑∞nxn−1=1+2x+3x2+⋯+nxn−1
同 (1−x)31=21((1−x)21)′ ,则有:
(1−x)31=n=2∑∞2n(n−1)xn−2
指数函数 Exponent function
由于 dxdex=ex ,e0=1 那么:
ex=n=0∑∞n!xn=1+x+2!x2+3!x3+⋯+n!xn
很明显:
(ex)′ex=(0!1+1!x+2!x2+3!x3+⋯)′=0+1+1x+2!x2+3!x3⋯=1+x+2!x2+3!x3+⋯
对于普通指数函数 ax , 由于 ax=exlna ,如果将 x 换为 xlna ,那么 ax 的泰勒展开式:
ax=exlna=1+xlna+2!(xlna)2+3!(xlna)3+⋯+n!(xlna)n
三角级数 Trigonometric functions
由欧拉公式 ex=cosx+isinx ,可以推导 sinx 和 cosx 的泰勒展开式:
sinx 是奇函数,只有奇数项,sin0=1 ,同时 −1≤sinx≤1 ,所以不同多次项的正负号要依次出现:
sinx=n=0∑∞(2n+1)!(−1)nx2n+1=x−3!x3+5!x5−7!x7+⋯+(−1)n(2n+1)!x2n+1
sinx 求导为 cosx ,同时 cosx 是偶函数,只有偶数项,cos0=1 ,
cosx=dxdsinx=1−2!x2+4!x4−6!x6+⋯+(−1)n(2n)!x2n
自然对数 Natural logarithm
由几何级数求和公式:
1−x1=n=0∑∞xn=1+x+x2+⋯+xn∀x∈(−1,1)
代入 (1−x) 则 x1 在 a=1 的泰勒展开式为:
x1=n=0∑∞(1−x)n=1−(x−1)+(x−1)2+⋯+(−1)n(x−1)n∀x∈(0,2)
因为 dxd(ln(1−x))=1−x−1 ,x<1 ,则:
1−x−1=−(1−x)−1=−(1+x+x2+x3+⋯+xn)
所以 ln(1−x) 泰勒展开式:
ln(1−x)=−x−2x2−3x3−4x4−⋯
用 $ 1- x$ 代入上式 x ,则 lnx 在 a=1 的泰勒展开式为:
ln(x)=n=1∑∞(−1)n−1n(x−1)n=(x−1)−21(x−1)2+31(x−1)3−41(x−1)4+⋯
对于 −1<x≤1 ,ln(1+x)=∫1+x1dx ,那么:
ln(1+x)=n=1∑∞n(−1)n+1xn=x−2x2+3x3−⋯+n(−1)n+1xn
那么对于 −1≤x<1 ,则有:
ln(1−x)=−n=1∑∞nxn=−x−2x2−3x3−⋯−nxn
当 0<x≤1 , lnx=ln(1+(x−1)) ,则:
lnx=n=1∑∞n(−1)n+1xn=(x−1)−2(x−1)2+3(x−1)3−⋯+n(−1)n+1xn
二项式 Binomial series
当 −1≤x≤1 时,对于任意 α∈C ,由二项式定理 即可得:
(1+x)α=n=0∑∞(nα)xn=1+αx+2!α(α−1)x2+⋯+n!α(α−1)⋯(α−n+1)xn
其中:
(nα)=k=1∏nkα−k+1=n!α(α−1)⋯(α−n+1)
参考文献