如何巧记泰勒展开式？

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By Long Luo

在数学、物理学、工程和计算机领域中，泰勒公式[1] 是一种广泛使用的分析方法，用来计算函数的近似值。在实践中，很多函数非常复杂，而且某些函数是不可积的，想求其某点的值，直接求无法实现。

泰勒公式可以将复杂的函数近似地表达为简单的多项式函数，用一个多项式函数去逼近一个给定的函数(即尽量使多项式函数图像拟合给定的函数图像)。注意在逼近的时候一定是从函数图像上的某个点展开。

下图所示就是不同项数的泰勒公式对 sin⁡x\sin x 的逼近：

768px-Sintay

泰勒级数的定义为：

f(x)=∑n=0∞f(n)(a)n!(x−a)n=f(a)+f′(a)1!(x−a)+f′′(a)2!(x−a)2+f′′′(a)3!(x−a)3+⋯f(x) = \sum _{n=0}^{\infty}{\frac{f^{(n)}(a)}{n!}}(x-a)^{n} = f(a) + {\frac {f'(a)}{1!}}(x - a) + {\frac {f''(a)}{2!}}(x - a)^{2} + {\frac {f'''(a)}{3!}}(x - a)^{3} + \cdots

这里，n!n! 表示 nn 的阶乘，而 f(n)(a)f^{(n)}(a) 表示函数 ff 在点 aa 处的 nn 阶导数。如果 a=0a = 0 ，这个级数也被称为麦克劳林级数(Maclaurin series)[2] 。

泰勒展开式有很多，那么如何记忆呢？首先我们需要明白，泰勒公式之间都是有相互关联的，我们可以通过推导来理解性记忆这些公式。泰勒公式的具体推导过程可以参考数学分析教材或者网络[3] 。

下面我们就推导这些公式，以便更好的记忆[4] ！

几何级数 Geometric series

对于 −1<x<1-1 < x < 1 的情况，几何级数[5] 由等比数列求和公式可得：

11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+⋯+xn\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n}

用 −x-x 代入 xx 上式，则：

11+x=∑n=0∞(−1)nxn=1−x+x2−x3+⋯+(−1)nxn\frac{1}{1 + x} = \sum _{n=0}^{\infty}(-1)^nx^{n} = 1 - x + x^{2} - x^3 + \cdots + (-1)^n x^{n}

用 x2x^2 替代 xx , 由于 arctan⁡x=∫0x11+x2dx\arctan x = \int_{0}^{x} \frac{1}{1 + x^2} \mathrm{d}x ，对于 −1≤x≤1,x≠±i-1 \le x \le 1, x \neq \pm i ，

arctan⁡x=∑n=0∞(−1)n2n+1x2n+1=x−x33+x55−⋯+(−1)n2n+1x2n+1\arctan x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{2n + 1}}x^{2n + 1} = x - {\frac {x^3}{3}} + {\frac {x^5}{5}} - \cdots + \frac{(-1)^n}{2n + 1}x^{2n + 1}

因为 1(1−x)2=(11−x)′\frac{1}{(1 - x)^2} = (\frac{1}{1 - x})' ，则：

1(1−x)2=∑n=1∞nxn−1=1+2x+3x2+⋯+nxn−1\begin{aligned} \frac {1}{(1-x)^2} &= \sum _{n=1}^{\infty }n x^{n-1} \\ &= 1 + 2x + 3x^2 + \cdots + n x^{n-1} \end{aligned}

同 1(1−x)3=12(1(1−x)2)′\frac{1}{(1 - x)^3} = \frac{1}{2} (\frac{1}{(1 - x)^2})' ，则有：

1(1−x)3=∑n=2∞n(n−1)2xn−2\frac {1}{(1 - x)^3} = \sum _{n=2}^{\infty }{\frac {n(n - 1)}{2}}x^{n - 2}

指数函数 Exponent function

由于 dexdx=ex\frac{\mathrm{d} e^x}{\mathrm{d} x} = e^x ，e0=1e^0 = 1 那么：

ex=∑n=0∞xnn!=1+x+x22!+x33!+⋯+xnn!e^x = \sum _{n=0}^{\infty }{\frac{x^n}{n!}} = 1 + x + {\frac{x^2}{2!}} + {\frac {x^3}{3!}} + \cdots + {\frac{x^n}{n!}}

很明显：

(ex)′=(10!+x1!+x22!+x33!+⋯ )′ex=0+1+x1+x22!+x33!⋯=1+x+x22!+x33!+⋯\begin{aligned} (e^x)' &= (\frac{1}{0!}+\frac{x}{1!}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots)' \\ e^x &= 0+1+\frac{x}{1}+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}\cdots \\ &= 1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots \end{aligned}

对于普通指数函数 axa^x , 由于 ax=exln⁡aa^x=e^{x\ln a} ，如果将 xx 换为 xln⁡ax\ln a ，那么 axa^x 的泰勒展开式：

ax=exln⁡a=1+xln⁡a+(xln⁡a)22!+(xln⁡a)33!+⋯+(xln⁡a)nn!\begin{aligned} a^x &= e^{x \ln a} \\ &= 1 + x \ln a + \frac{(x \ln a)^2}{2!} + \frac{(x \ln a)^3}{3!} + \cdots + \frac{(x \ln a)^n}{n!} \\ \end{aligned}

三角级数 Trigonometric functions

由欧拉公式 ex=cos⁡x+isin⁡xe^x = \cos x + i \sin x ，可以推导 sin⁡x\sin x 和 cos⁡x\cos x 的泰勒展开式：

sin⁡x\sin x 是奇函数，只有奇数项，sin⁡0=1\sin 0 = 1 ，同时 −1≤sin⁡x≤1-1 \le \sin x \le 1 ，所以不同多次项的正负号要依次出现：

sin⁡x=∑n=0∞(−1)n(2n+1)!x2n+1=x−x33!+x55!−x77!+⋯+(−1)nx2n+1(2n+1)!\sin x = \sum _{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^{n}}{(2n + 1)!} x^{2n + 1} = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n + 1}}{(2n + 1)!}

sin⁡x\sin x 求导为 cos⁡x\cos x ，同时 cos⁡x\cos x 是偶函数，只有偶数项，cos⁡0=1\cos 0 = 1 ，

cos⁡x=dsin⁡xdx=1−x22!+x44!−x66!+⋯+(−1)nx2n(2n)!\begin{aligned} \cos x &= \frac{\mathrm{d} \sin x}{\mathrm{d} x} \\ &= 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots + (-1)^n\frac{x^{2n}}{(2n)!} \\ \end{aligned}

自然对数 Natural logarithm

由几何级数求和公式：

11−x=∑n=0∞xn=1+x+x2+⋯+xn∀x∈(−1,1)\frac{1}{1 - x} = \sum _{n=0}^{\infty}x^{n} = 1 + x + x^{2} + \cdots + x^{n} \quad \forall x \in (-1, 1)

代入 (1−x)(1- x) 则 1x\frac{1}{x} 在 a=1a = 1 的泰勒展开式为：

1x=∑n=0∞(1−x)n=1−(x−1)+(x−1)2+⋯+(−1)n(x−1)n∀x∈(0,2)\frac{1}{x} = \sum _{n=0}^{\infty}(1 - x)^{n} = 1 - (x - 1) + (x - 1)^{2} + \cdots + (-1)^n(x - 1)^{n} \quad \forall x \in (0, 2)

因为 ddx(ln(1−x))=−11−x\frac {d}{dx}(ln(1-x)) = \frac {-1}{1-x} ，x<1x < 1 ，则：

−11−x=−(1−x)−1=−(1+x+x2+x3+⋯+xn)\frac{-1}{1-x} = -(1 - x)^{-1} = -(1 + x + x^2 + x^3 + \cdots + x^n)

所以 ln⁡(1−x)\ln (1 - x) 泰勒展开式：

ln⁡(1−x)=−x−x22−x33−x44−⋯\ln (1 - x) = -x - \frac {x^2}{2} - \frac {x^3}{3} - \frac {x^4}{4} - \cdots

用 $ 1- x$ 代入上式 xx ，则 ln⁡x\ln x 在 a=1a = 1 的泰勒展开式为：

ln⁡(x)=∑n=1∞(−1)n−1(x−1)nn=(x−1)−12(x−1)2+13(x−1)3−14(x−1)4+⋯\ln (x) = \sum_{n = 1}^{\infty} (-1)^{n - 1} \frac{(x - 1)^n}{n} = (x - 1) - {\tfrac {1}{2}}(x - 1)^{2} + {\tfrac {1}{3}}(x - 1)^{3} - {\tfrac {1}{4}}(x - 1)^{4} + \cdots

对于 −1<x≤1-1 < x \le 1 ，ln⁡(1+x)=∫11+xdx\ln (1 + x) = \int \frac{1}{1 + x} \mathrm{d}x ，那么：

ln⁡(1+x)=∑n=1∞(−1)n+1nxn=x−x22+x33−⋯+(−1)n+1nxn\begin{aligned} \ln(1 + x) &= \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}x^{n} \\ &= x - \frac{x^2}{2} + \frac {x^3}{3} - \cdots + \frac {(-1)^{n + 1}}{n}x^n \end{aligned}

那么对于 −1≤x<1-1 \le x < 1 ，则有：

ln⁡(1−x)=−∑n=1∞xnn=−x−x22−x33−⋯−xnn\begin{aligned} \ln(1 - x) &= -\sum _{n=1}^{\infty}{\frac{x^n}{n}} \\ &= -x - \frac {x^2}{2} - \frac {x^3}{3} -\cdots - \frac {x^n}{n} \end{aligned}

当 0<x≤10 < x \le 1 ， ln⁡x=ln⁡(1+(x−1))\ln x = \ln (1 + (x - 1)) ，则：

ln⁡x=∑n=1∞(−1)n+1nxn=(x−1)−(x−1)22+(x−1)33−⋯+(−1)n+1nxn\ln x = \sum _{n=1}^{\infty}{\frac{(-1)^{n + 1}}{n}}x^{n} = (x - 1) - \frac{(x - 1)^2}{2} + \frac {(x - 1)^3}{3} - \cdots + \frac {(-1)^{n + 1}}{n}x^n

二项式 Binomial series

当 −1≤x≤1-1 \le x \le 1 时，对于任意 α∈C\alpha \in \mathbb {C} ，由二项式定理[6] 即可得:

(1+x)α=∑n=0∞(αn)xn=1+αx+α(α−1)2!x2+⋯+α(α−1)⋯(α−n+1)n!xn\begin{aligned} (1 + x)^{\alpha} &= \sum _{n=0}^{\infty}{\binom{\alpha}{n}}x^{n} \\ &= 1 + \alpha x + \frac{\alpha(\alpha - 1)}{2!}x^2 + \cdots + \frac{\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}x^{n} \end{aligned}

其中：

(αn)=∏k=1nα−k+1k=α(α−1)⋯(α−n+1)n!{\binom {\alpha}{n}} = \prod _{k = 1}^{n}{\frac{\alpha - k + 1}{k}} = {\frac {\alpha (\alpha - 1) \cdots (\alpha - n + 1)}{n!}}

参考文献

  1. Taylor series ↩︎

  2. Maclaurin Series ↩︎

  3. 带余项的泰勒公式、欧拉-麦克劳林公式的推导 ↩︎

  4. 泰勒展开的公式怎么记忆？ ↩︎

  5. Geometric series ↩︎

  6. Binomial coefficient ↩︎