贝塞尔曲线(Bezier Curve)：优雅背后的数学原理
By Long Luo
最近在 YouTube 上看了 Freya Holmér 的 贝塞尔曲线之美 的视频，这个视频做的非常好，通俗易懂地解释了贝塞尔曲线的实现原理，通过结合代码，大致了解了 Bezier Curve1 的数学原理。
之前用过 TI 的一个开发板，里面有个屏保的程序，可以在开发板的屏幕上 屏保 ，用的是 Bresneham2 算法，源码如下 。Bresneham 算法先挖个坑，后续会填上，今天这篇文章主要还是分析贝塞尔曲线(Bezier Curve)。
贝塞尔曲线是什么？
贝塞尔曲线是由法国工程师 Pierre Bézier3 在 1962 年提出的数学概念，它以其优雅的曲线特性和广泛的应用领域而闻名。
我写了一个贝塞尔(Bezier Curve) 曲线的在线交互式动画，传送门如下：
http://www.longluo.me/projects/bezier/
贝塞尔曲线的数学原理
这一章节待完善！！！
贝塞尔曲线通过控制点来定义曲线的形状，这些控制点决定了曲线在起始点和结束点之间的路径。通过调整控制点的位置，可以改变曲线的形状、弯曲度和方向。贝塞尔曲线的绘制基于插值的概念，它通过在控制点之间进行插值计算，得到平滑的曲线。
\(P_1(x_1, y_1)\) 和 \(P_2(x_2, y_2)\) ，
\[ \begin{cases} x = x_1 + t (x_2 - x_1) \\ y = y_1 + t (y_2 - y_1) \end{cases} \]
贝塞尔曲线的数学表达方式是通过多项式来定义的。在一维空间中，\(n\) 次贝塞尔曲线的公式为：
\[ B(t) = P_0 + (P_1 - P_0)t= (1-t)P_0 + tP_1, t\in [0,1] \]
\[ B(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}P_i(1 - t)^{n-i}t^i = \binom{n}{0}P_0(1-t)^{n}t^0 + \binom{n}{1}P_1(1-t)^{n-1}t^1 + \cdots + \binom{n}{n-1}P_{n-1}(1-t)^{n-1}t^{n-1} + \binom{n}{n}P_{n}(1-t)^{n}t^{n}, t\in[0,1] \]
一般地， n 个控制点的贝塞尔曲线的递归版本为：
\[ P_0^{n} = (1 - t)P_0^{n-1} + tP_1^{n-1}, t\in [0,1] \]
贝塞尔曲线的应用场合
计算机图形学：贝塞尔曲线被广泛应用于计算机图形学中的曲线绘制和造型。它可以用来绘制平滑的曲线、实现曲线的动画效果，以及创建复杂的几何形状。
平面设计和艺术：贝塞尔曲线在平面设计和艺术创作中也有广泛应用。设计师可以利用贝塞尔曲线的灵活性和精确性，绘制出符合设计要求的曲线和形状。
工程和建筑设计：贝塞尔曲线在工程和建筑设计中用于绘制道路、河流、管道等具有曲线特征的结构。它可以帮助工程师和建筑师准确地描述和模拟复杂的曲线路径。
贝塞尔曲线的缺点
尽管贝塞尔曲线在许多场合下都有广泛应用，但也存在一些不适用的情况。以下是一些例子：
- 高度精确的曲线：贝塞尔曲线是由有限个控制点所定义的，当需要绘制极其精确的曲线时，可能无法满足需求；
- 曲率变化较大的曲线：贝塞尔曲线的控制点数量决定了曲线的平滑程度。在曲率变化较大的情况下，可能需要增加更多的控制点来准确描述曲线的形状；
- 特殊曲线类型：某些特殊曲线类型，如圆或椭圆等，可能有更适合的数学表示方法，而不是使用贝塞尔曲线。
总结
贝塞尔曲线能够帮助我们创建平滑、灵活的曲线，适用于计算机图形学、平面设计、工程和建筑设计等领域。