贝塞尔曲线(Bezier Curve)：优雅背后的数学原理

发表于 2022-12-08 更新于 2023-09-17 分类于 Math Waline：阅读次数：本文字数： 1.9k 阅读时长 ≈ 2 分钟

By Long Luo

最近在 YouTube 上看了 Freya Holmér 的贝塞尔曲线之美的视频，这个视频做的非常好，通俗易懂地解释了贝塞尔曲线的实现原理，通过结合代码，大致了解了 Bezier Curve^[1] 的数学原理。

之前用过 TI 的一个开发板，里面有个屏保的程序，可以在开发板的屏幕上屏保，用的是 Bresneham^[2] 算法，源码如下。Bresneham 算法先挖个坑，后续会填上，今天这篇文章主要还是分析贝塞尔曲线(Bezier Curve)。

贝塞尔曲线是什么？

贝塞尔曲线是由法国工程师 Pierre Bézier^[3] 在 1962 年提出的数学概念，它以其优雅的曲线特性和广泛的应用领域而闻名。

我写了一个贝塞尔(Bezier Curve) 曲线的在线交互式动画，传送门如下：

Bezier Curve

贝塞尔曲线通过控制点来定义曲线的形状，这些控制点决定了曲线在起始点和结束点之间的路径。通过调整控制点的位置，可以改变曲线的形状、弯曲度和方向。贝塞尔曲线的绘制基于插值的概念，它通过在控制点之间进行插值计算，得到平滑的曲线。

$P_1(x_1, y_1)$ 和 $P_2(x_2, y_2)$ ，

\begin{cases} x = x_1 + t (x_2 - x_1) \\ y = y_1 + t (y_2 - y_1) \end{cases}

贝塞尔曲线的数学表达方式是通过多项式来定义的。在一维空间中， $n$ 次贝塞尔曲线的公式为：

B(t) = P_0 + (P_1 - P_0)t= (1-t)P_0 + tP_1, t\in [0,1]

B(t) = \sum_{i=0}^{n} \binom{n}{i}P_i(1 - t)^{n-i}t^i = \binom{n}{0}P_0(1-t)^{n}t^0 + \binom{n}{1}P_1(1-t)^{n-1}t^1 + \cdots + \binom{n}{n-1}P_{n-1}(1-t)^{n-1}t^{n-1} + \binom{n}{n}P_{n}(1-t)^{n}t^{n}, t\in[0,1]

一般地， n 个控制点的贝塞尔曲线的递归版本为：

P_0^{n} = (1 - t)P_0^{n-1} + tP_1^{n-1}, t\in [0,1]

计算机图形学：贝塞尔曲线被广泛应用于计算机图形学中的曲线绘制和造型。它可以用来绘制平滑的曲线、实现曲线的动画效果，以及创建复杂的几何形状。

平面设计和艺术：贝塞尔曲线在平面设计和艺术创作中也有广泛应用。设计师可以利用贝塞尔曲线的灵活性和精确性，绘制出符合设计要求的曲线和形状。

工程和建筑设计：贝塞尔曲线在工程和建筑设计中用于绘制道路、河流、管道等具有曲线特征的结构。它可以帮助工程师和建筑师准确地描述和模拟复杂的曲线路径。

尽管贝塞尔曲线在许多场合下都有广泛应用，但也存在一些不适用的情况。以下是一些例子：

贝塞尔曲线能够帮助我们创建平滑、灵活的曲线，适用于计算机图形学、平面设计、工程和建筑设计等领域。