二维傅里叶变换(2D Fourier Transforms)可视化

By Long Luo

前言

前几天看了一个介绍 核磁共振成像(MRI) 原理的视频：
三维演示磁共振成像（MRI）原理 ，加上自己也曾做过 $2$ 次核磁共振，一直很好奇其原理，所以花了点时间弄懂了核磁共振成像原理。

在这篇文章我们不详细介绍核磁共振成像原理，只关注其成像部分，也就是根据获取到的空间频率来还原图像，也就是二维傅里叶逆变换($\textit{2D Inverse Fourier Transforms}$)。

关于傅里叶变换及傅里叶逆变换，可以参考之前写过的一篇文章：傅里叶变换 。傅里叶变换本质上就是换基，推荐这篇文章：我理解的傅里叶变换 。

一维傅里叶变换(1D Fourier Transform)

对于非周期函数，我们把它的周期看作无穷大。基频 $\omega_0=\frac{2\pi}{T}$ 则趋近于无穷小，又因为基频相当于周期函数的傅里叶级数中两个相邻频率的差值 $(n+1)\omega_0-n\omega_0$，我们可以把它记作 $\Delta\omega$ 或者微分 $d\omega$。$n\omega_0$ 则相当于连续变量 $\omega$。这样就得到了针对非周期函数的频谱函数如下：

$$c_{n}=\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jwt}dt$$

我们会发现这里的 $c_n$ 是趋于 $0$ 的。

将它代入 $f(t)=\sum_{n=-\infty}^{n=+\infty}c_ne^{jn\omega_0t}$

得到：

$$f(t)=\sum_{-\infty}^{+\infty}(\frac{\Delta\omega}{2\pi}\int_{-\infty}^{+\infty} f(t)e^{-jwt}dt)e^{j\omega t}=\int_{-\infty}^{+\infty}\frac{1}{2\pi}(\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt)e^{j\omega t}d\omega$$

则非周期函数的傅里叶变换定义为

$$F(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j\omega t}dt$$

我们可以发现 $c_n=\frac{d\omega}{2\pi}F(\omega)$ ，即我们选取了信号幅值在频域中的分布密度 $F(\omega)$ 来表示傅里叶变换，而不是相应频率的信号幅值大小 $c_n$ 。因为如果选择后者，那傅里叶变换的函数值就都是无穷小了，这显然对我们没有任何帮助。

我们一般也用频率 $f$ 来进行傅里叶变换：

$$F(f)=\int_{-\infty}^{+\infty}f(t)e^{-j2\pi f t}dt$$

在数学上 $f(t)$ 大多是在时域 $t$ 上是连续的，但是由于计算机采集信号在时域中是离散的，所以实际应用中的 $f(t)$ 都是其经采样处理后得到的 $f_s(t)$ 。

同时，计算机也只能计算出有限个频率上对应的幅值密度，即 $f$ 也是离散的。

$\textit{DFT(Discrete Fourier Transform)}$ 也就是 $t$ 和 $f$ 都是离散的傅里叶变换。

一维离散傅里叶变换

采样(Sampling)

首先引入冲激函数（也叫 $\textit{Dirac}$ 函数）的概念。

当 $t \neq 0$ 时 $\delta(t)=0$； $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t)dt=1$。

根据它的定义，我们可知 $\int_{-\infty}^{+\infty}\delta(t-t_0)f(t)dt=f(t_0)$ 。这是 $\textit{Dirac}$ 函数的重要性质，容易看出，它可以筛选出 $f(t)$ 在 $t_0$ 处的函数值，即起到采样的作用。

但是 $\textit{Dirac}$ 函数一次只能选取一个函数值，所以我们将很多个采样点不同的 $\textit{Dirac}$ 函数叠加起来，就可以实现时域上的采样了。这样叠加的函数被称为梳状函数，表达式为：

$\delta_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\delta(t-nT_s)$ ，其中 $T_s$ 为采样周期。

将时域上的连续信号与它相乘，即可得到 $f_s=\sum_{n=-\infty}^{\infty}f(t)\delta(t-nT_s)$ 。

时域离散化计算

对于采样得到的 $x_s(t)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s)$ 进行傅里叶变换。

根据傅里叶变换的定义

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{+\infty}x(t)e^{-j\omega t}dt$$

则 $X_s(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}(\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s))e^{-j\omega t}dt$

交换积分与求和顺序，得到

$$X_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}\int_{-\infty}^{\infty}x(t)\delta(t-nT_s)e^{-jwt}dt$$

根据 $\textit{Dirac}$ 函数的筛选特性， $X_s(\omega)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}x(nT_s)e^{-jwnT_s}$

这样就完成了我们的时域离散化计算。

频域离散化计算

时域离散化得到的结果 $X_s(\omega)$ 在频域上仍是连续的，而计算机只能求取有限个 $\omega$ 对应的频谱密度。此外， $X_s(\omega)$ 中的时域采样次数 $N$ 为无穷大，实际应用中显然不会进行无穷多次时域采样。

我们首先解决 $N$ 为无穷大的问题。对于连续信号 $x(t)$ 进行 $N$ 次（$N$ 为有限值）采样，采样周期为 $T_s$ 。然后对采样得到的信号进行时域上的周期延拓（延拓至正负无穷），这样我们就得到了一个周期为 $T_0=NT_s$ 的函数。对于周期函数而言，它的频谱密度函数是离散化的，这样我们就成功把频域也进行了离散化。具体计算方法如下：

在一个周期内，离散信号的表达式为 $x_s(t)=\sum_{n=0}^{N-1}x(t)\delta(t-nT_s)$

离散信号的傅里叶级数：

$X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\int_{0}^{T}(\sum_{n=0}^{N-1}x(t)\delta(t-nT_s))e^{-jkw_0t}dt$ ，其中 $\omega_0=\frac{2\pi}{T_0}$。

交换积分和求和次序，

$X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=0}^{N-1}\int_{0}^{T}x(t)\delta(t-nT_s)e^{-jk\omega_0t}dt$

根据狄拉克函数的筛选特性， $X(k\omega_0)=\frac{1}{T_0}\sum_{n=0}^{N-1}x(nTs)e^{-jk\omega_0nT_s}$

即

$$X(k\omega_0)=\frac{1}{NT_s}\sum_{n=0}^{N-1}x(nTs)e^{-j\frac{2\pi}{NT_s}knT_s}=\frac{1}{NT_s}\sum_{n=0}^{N-1}x(nTs)e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

为更加简明，令 $X[k]=X(k\omega_0)T_s$ ， $x[n]=x(nT_s)$，则

$$X[k]=\frac{1}{N}\sum_{n=0}^{N-1}x[n]e^{-j\frac{2\pi}{N}kn}$$

其中：$N$ 为采样总点数，$n$ 为当前采样点，$x[n]$ 在时域 $n$ 的信号值，$k$ 为当前频率值(从 $0$ Hz 到 $N-1$ Hz)，$X[k]$ $\textit{DFT}$ 的结果(是一个复数，包含幅度和相位信息)。

一维傅里叶变换可视化

二维连续傅里叶变换(2D Fourier Transforms)

二维连续傅里叶变换

$$F(u,v) = \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} f(x,y)e^{-j2\pi(ux+vy)}dxdy$$

二维连续傅里叶逆变换

$$f(x,y) = \frac{1}{4\pi^2} \int_{-\infty }^{\infty}\int_{-\infty }^{\infty} F(u,v)e^{j2\pi(ux+vy)}dudv$$

二维离散傅里叶变换

二维离散傅里叶变换

$$F(u,v)=\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}f(x,y)e^{-j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$

二维离散傅里叶逆变换

$$f(x,y)=\frac{1}{MN}\sum_{x=0}^{M-1} \sum_{y=0}^{N-1}F(u,v)e^{j2\pi(\frac{ux}{M}+\frac{vy}{N})}$$

傅里叶变换特征参数

$$F(u,v)=R(u,v)+jI(u,v)$$

频谱/幅度谱

$$|F(u,v)|=\sqrt{R^2(u,v)+I^2(u,v)}$$

$$P(u,v)=R^2(u,v)+I^2(u,v)$$

相位谱

$$\psi (u,v)=arctan\frac{I(u,v)}{R(u,v)}$$

参考资料