[Leetcode][441. 排列硬币] 4种解法：暴力，二分查找，数学，位运算

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By Long Luo

Leetcode 441. 排列硬币 的题解，有4种解决方法，前3种比较容易想到，位运算 比较难想到。

方法一：暴力

思路和算法

模拟硬币排列过程，从 ans=1ans = 1 开始，逐行 ans+1ans + 1，当硬币不足排列当前行时退出，注意返回时需要 ans−1 ans - 1，因为在排列完上一行时已经 +1+1 了，返回时需要 −1-1。

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// BF O(sqrtn) O(1)
public int arrangeCoins_bf(int n) {
	int ans = 1;
	while (n >= ans) {
		n -= ans;
		ans++;
	}

	return ans - 1;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(n)O(\sqrt{n})，因为总行数一定不超过 2(n+1)2(\sqrt{n}+1)。
  • 空间复杂度：O(1)O(1)。

方法二：二分查找

思路和算法

第 ii 行必须有 ii 个硬币（最后一行除外），总行数的增加所需要的硬币数是单调递增的，到第 ii 行时总共使用的硬币数量为 total=i×(i+1)2total = \frac{i \times (i + 1)}{2}，我们的目标是寻找一个 ii 使得 total≤ntotal \leq n，可以利用二分加速在 11 到 n+12\frac{n + 1}{2} 之间查找。

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// BS O(logn) O(1)
public int arrangeCoins_bs(int n) {
	long left = 1;
	long right = ((long) n + 1) / 2;
	while (left < right) {
		long mid = left + (right - left + 1) / 2;
		long sum = mid * (mid + 1) / 2;
		if (sum <= n) {
			left = mid;
		} else {
			right = mid - 1;
		}
	}

	return (int) left;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(logn)O(logn)。
  • 空间复杂度：O(1)O(1)。

方法三：数学

思路和算法

第 xx 行放满一共可以得到 (x+1)×x2\frac{(x + 1) \times x}{2} 个硬币，则有：

(x+1)×x2=n\frac{(x + 1) \times x}{2} = n

整理得一元二次方程

x2+x−2n=0x^2 + x - 2n = 0

因为 n≥1n \ge 1，所以判别式

Δ=b2−4ac=8n+1>0\Delta = b^2 - 4ac = 8n + 1 > 0

解得 x1=−1−8n+12x_1 = \frac{-1 - \sqrt{8n + 1}}{2}，x2=−1+8n+12x_2 = \frac{-1 + \sqrt{8n + 1}}{2}

x1<0x_1 < 0，舍去不用，x2x_2 即为硬币可以排列成的行数。

因为需要可以完整排列的行数，所以需要向下取整。

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// Math O(1) O(1)
public int arrangeCoins_math(int n) {
	int val = (int) (Math.sqrt((long) 8 * n + 1) - 1);
	return val / 2;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(1)O(1)。
  • 空间复杂度：O(1)O(1)。

方法四：位运算

思路与算法：

  1. 因为 1≤n≤231−11 \leq n \leq 2^{31} - 1，那么最长的数是 3131 位，显然 sqrt(231−1)=log(sqrt(231−1))=16sqrt(2^{31} - 1) = log(sqrt(2^{31} - 1)) = 16，也就是说答案最长也不会超过 1616 位；
  2. 创建一个 maskmask，第1515位设为 11，其余为 00；
  3. 先依次给 ansans 按位从高到低设 11，检查 ans×(ans+1)>nans \times (ans + 1) > n，ans=0ans = 0；
  4. maskmask 依次右移，直至 00，即为我们的答案。

代码如下所示：

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// Bit O(1) O(1)
public static int arrangeCoins_bit(int n) {
    int mask = 1 << 15;
    long ans = 0;
    while (mask > 0) {
        ans |= mask;
        if (ans * (ans + 1) / 2 > n) {
            ans ^= mask;
        }
        mask >>= 1;
    }

    return (int) ans;
}

复杂度分析

  • 时间复杂度：O(1)O(1)。
  • 空间复杂度：O(1)O(1)。

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