By Long Luo
Leetcode 1218. 最长定差子序列 题目如下：
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| 1218. 最长定差子序列
给你一个整数数组arr和一个整数difference，请你找出并返回arr中最长等差子序列的长度，该子序列中相邻元素之间的差等于difference。
子序列 是指在不改变其余元素顺序的情况下，通过删除一些元素或不删除任何元素而从arr派生出来的序列。
示例 1：
输入：arr = [1,2,3,4], difference = 1
输出：4
解释：最长的等差子序列是[1,2,3,4]。
示例 2：
输入：arr = [1,3,5,7], difference = 1
输出：1
解释：最长的等差子序列是任意单个元素。
示例 3：
输入：arr = [1,5,7,8,5,3,4,2,1], difference = -2
输出：4
解释：最长的等差子序列是[7,5,3,1]。
提示：
1 <= arr.length <= 10^5
-10^4 <= arr[i], difference <= 10^4
进阶：你能否实现线性时间复杂度、仅使用额外常数空间的算法解决此问题?
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方法一：暴力
思路与算法：
首先想到的是暴力法，在第二个循环中寻找构成等差数列的数字并更新长度，找到最大长度。
代码如下所示：
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| public int longestSubsequence(int[] arr, int difference) {
int len = arr.length;
int ans = 1;
for (int i = 0; i < len; i++) {
int value = arr[i];
int cnt = 1;
for (int j = i + 1; j < len; j++) {
if (arr[j] == value + difference) {
cnt++;
value = arr[j];
}
}
ans = Math.max(ans, cnt);
}
return ans;
}
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复杂度分析：
- 时间复杂度：O(N2)，其中 N 是数组 nums 的长度。
- 空间复杂度：O(1)。
方法二：动态规划 + 哈希表
思路与算法：
方法一会超时，那么我们需要更好的方法。
能否使用额外的空间来降低时间复杂度，降到 O(N) 呢？
从左往右遍历 arr，并计算出以 arr[i] 为结尾的最长的等差子序列的长度，更新长度的最大值，即为答案。
令 dp[i] 表示以 arr[i] 为结尾的最长的等差子序列的长度，在 arr[i] 左侧找到满足 arr[j]=arr[i]−d 的元素，将 arr[i] 加到以 arr[j] 为结尾的最长的等差子序列的末尾，这样可以递推地从 dp[j] 计算出 dp[i]。
由于我们是从左往右遍历 arr 的，对于两个相同的元素，下标较大的元素对应的 dp 值不会小于下标较小的元素对应的 dp 值，因此下标 j 可以取满足 j<i 且 arr[j]=arr[i]−d 的所有下标的最大值。
故转移方程如下：
dp[i]=dp[j]+1
由于我们总是在左侧找一个最近的等于 arr[i]−d 元素并取其对应 dp 值，因此我们直接用 dp[v] 表示以 v 为结尾的最长的等差子序列的长度，这样 dp[v−d] 就是我们要找的左侧元素对应的最长的等差子序列的长度，因此转移方程可以改为
dp[v]=dp[v−d]+1
最后答案为 max{dp}。
代码如下所示：
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| public int longestSubsequence(int[] arr, int difference) {
int len = arr.length;
int ans = 1;
Map<Integer, Integer> dp = new HashMap<>();
for (int i = 0; i < len; i++) {
dp.put(arr[i], dp.getOrDefault(arr[i] - difference, 0) + 1);
ans = Math.max(ans, dp.get(arr[i]));
}
return ans;
}
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复杂度分析：
- 时间复杂度：O(N)，其中N是数组 nums 的长度。
- 空间复杂度：O(N)，哈希表需要 O(N) 的空间。
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