[Leetcode][407. 接雨水 II] 2种方法：优先队列存储每层围栏最低高度，BFS更新每个方块存水高度

By Long Luo

Leetcode 407. 接雨水 II 题目如下：

407. 接雨水 II

给你一个m x n的矩阵，其中的值均为非负整数，代表二维高度图每个单元的高度，请计算图中形状最多能接多少体积的雨水。

示例 1:

![3D 接雨水 1](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/04/08/trap1-3d.jpg)

输入: heightMap = [[1,4,3,1,3,2],[3,2,1,3,2,4],[2,3,3,2,3,1]]
输出: 4
解释: 下雨后，雨水将会被上图蓝色的方块中。总的接雨水量为1+2+1=4。

示例 2:

![3D 接雨水 2](https://assets.leetcode.com/uploads/2021/04/08/trap2-3d.jpg)

输入: heightMap = [[3,3,3,3,3],[3,2,2,2,3],[3,2,1,2,3],[3,2,2,2,3],[3,3,3,3,3]]
输出: 10
 
提示:
m == heightMap.length
n == heightMap[i].length
1 <= m, n <= 200
0 <= heightMap[i][j] <= 2 * 10^4

这道题是 42. 接雨水 的3D版本，区别于2D版本只需要维护左右两个最高的木板，这里需要维护一个围栏，用堆（优先队列）来维护周围这个围栏中的最小元素。

方法一：优先队列 + 最小堆

思路与算法：

因为需要维护一个圈，用来存储水，所以需要从矩阵的最外围往里面遍历，不断缩小圈，直到遍历每个方块，在这个过程中计算每个方块能装多少水，更新 $\textit{ans}$。

那么什么方块能存水呢？

• 该方块不是在圈外；
• 该方块高度比其上下左右四个相邻的方块接水后的高度都要低。

假设方块的索引为 $(i,j)$，方块高度为 $\textit{heightMap}[i][j]$，方块接水后的高度为 $\textit{water}[i][j]$，则方块 $(i,j)$ 的接水后的高度为：

$\textit{water}[i][j] = \max(\textit{heightMap}[i][j],\min(\textit{water}[i-1][j],\textit{water}[i+1][j],\textit{water}[i][j-1],\textit{water}[i][j+1]))$

每个方块 $(i,j)$ 实际接水量为：$\textit{water}[i][j] - \textit{heightMap}[i][j]$。

那问题变成了如何知道每个方块的 $\textit{water}[i][j]$ 呢？

1. 因为最外层的方块无法接水，所以最外层的方块接水后的高度 $\textit{water}[i][j]=\textit{heightMap}[i][j]$；

2. 根据木桶原理，而每层水的高度则取决于每层方块中高度最低的方块；

3. 从矩阵的四周边界开始，则可以知道最外层方块接水后的高度最小值。之后遍历每层中的每个方块周围$4$ 个方块，如果比当前方块低，那么说明这个方块可以接水，接水后的高度就是当前层的最小高度，反之更高的话，将其加入优先队列中；

4. 更新最外层的方块标记，在新的最外层的方块再次找到接水后的高度的最小值，依次迭代直到求出所有的方块的接水高度，即可知道矩阵中的接水容量。

代码如下所示：

public int trapRainWater(int[][] heightMap) {
    if (heightMap == null || heightMap.length <= 1 || heightMap[0].length <= 1) {
        return 0;
    }

    int ans = 0;
    int row = heightMap.length;
    int col = heightMap[0].length;

    PriorityQueue<int[]> pq = new PriorityQueue<>((o1, o2) -> o1[2] - o2[2]);

    boolean[][] visited = new boolean[row][col];
    for (int i = 0; i < row; ++i) {
        for (int j = 0; j < col; ++j) {
            if (i == 0 || i == row - 1 || j == 0 || j == col - 1) {
                pq.offer(new int[]{i, j, heightMap[i][j]});
                visited[i][j] = true;
            }
        }
    }

    int[][] dirs = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};

    while (!pq.isEmpty()) {
        int[] curr = pq.poll();

        for (int[] dir : dirs) {
            int nextX = curr[0] + dir[0];
            int nextY = curr[1] + dir[1];

            if (nextX < 0 || nextX >= row || nextY < 0 || nextY >= col || visited[nextX][nextY]) {
                continue;
            }

            if (heightMap[nextX][nextY] < curr[2]) {
                ans += curr[2] - heightMap[nextX][nextY];
            }

            visited[nextX][nextY] = true;
            pq.offer(new int[]{nextX, nextY, Math.max(heightMap[nextX][nextY], curr[2])});
        }
    }

    return ans;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(MN\log(M+N))$，其中 $M$ 是矩阵的行数，$N$ 是矩阵的列数。我们需要将矩阵中的每个元素都进行遍历，同时将每个元素都需要插入到优先队列中，总共需要向队列中插入 $MN$ 个元素，每次堆进行调整的时间复杂度为 $O(\log(M+N))$，因此总的时间复杂度为 $O(MN\log(M+N))$。
• 空间复杂度：$O(MN)$，需要创建额外的空间对元素进行标记，优先队列中最多存储 $O(MN)$ 个元素，因此空间复杂度度为 $O(MN)$。

方法二：BFS

思路与算法：

假设初始时矩阵的每个格子都接满了水，且高度均为 $\textit{maxHeight}$，其中 $\textit{maxHeight}$ 为矩阵中高度最高的格子。

接水后的高度为 $\textit{water}[i][j]$，方块 $(i,j)$ 的接水后的高度为：

$\textit{water}[i][j] = \max(\textit{heightMap}[i][j],\min(\textit{water}[i-1][j],\textit{water}[i+1][j],\textit{water}[i][j-1],\textit{water}[i][j+1]))$

假设每个方块 $(i,j)$ 的接水后的高度均为 $\textit{water}[i][j]=\textit{maxHeight}$，那么：

1. 最外层的方块的肯定不能接水；
2. 如果当前方块 $(i,j)$ 的接水高度 $\textit{water}[i][j]$ 小于与它相邻的 $4$ 个方块接水高度时，调整接水高度，将其相邻的 $4$ 个方块的接水高度调整为与 $(i,j)$ 的高度一致；
3. 不断重复进行调整，直到所有的方块的接水高度不再有调整时即为满足要求。

最后根据方块 $(i,j)$ 接水容量 $\textit{water}[i][j] - \textit{heightMap}[i][j]$，遍历即为答案。

值得注意的是如果在BFS里运用 $\textit{visited}$ 标记，反而在特殊情况下失败，因为在这里BFS如果遇到一个更低的高度，需要将原来已经遍历过的高度也更新，所以不能使用 $\textit{visited}$ 标记。

代码如下所示：

public static int trapRainWater_bfs(int[][] heightMap) {
    if (heightMap == null || heightMap.length <= 1 || heightMap[0].length <= 1) {
        return 0;
    }

    int ans = 0;
    int row = heightMap.length;
    int col = heightMap[0].length;
    int maxHeight = 0;
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        for (int j = 0; j < col; j++) {
            maxHeight = Math.max(maxHeight, heightMap[i][j]);
        }
    }
    int[][] water = new int[row][col];
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        for (int j = 0; j < col; j++) {
            water[i][j] = maxHeight;
        }
    }

    Queue<int[]> queue = new LinkedList<>();
    for (int i = 0; i < row; i++) {
        for (int j = 0; j < col; j++) {
            if (i == 0 || i == row - 1 || j == 0 || j == col - 1) {
                if (water[i][j] > heightMap[i][j]) {
                    water[i][j] = heightMap[i][j];
                    queue.offer(new int[]{i, j});
                }
            }
        }
    }

    int[][] dirs = {{-1, 0}, {1, 0}, {0, -1}, {0, 1}};

    while (!queue.isEmpty()) {
        int[] curr = queue.poll();

        for (int[] dir : dirs) {
            int nextX = curr[0] + dir[0];
            int nextY = curr[1] + dir[1];

            if (nextX < 0 || nextX >= row || nextY < 0 || nextY >= col) {
                continue;
            }

            // 只有比当前水位高才会流出水，water[nextX][nextY] > heightMap[nextX][nextY]是为了保证不会重复遍历。
            if (water[curr[0]][curr[1]] < water[nextX][nextY] && water[nextX][nextY] > heightMap[nextX][nextY]) {
                water[nextX][nextY] = Math.max(water[curr[0]][curr[1]], heightMap[nextX][nextY]);
                queue.offer(new int[]{nextX, nextY});
            }
        }
    }

    for (int i = 0; i < row; i++) {
        for (int j = 0; j < col; j++) {
            ans += water[i][j] - heightMap[i][j];
        }
    }

    return ans;
}

复杂度分析

• 时间复杂度：$O(M^2N^2)$，其中 $M$ 是矩阵的行数，$N$ 是矩阵的列数。每次发现有水面高度需要调整时，可能需要调整整个矩阵，因此时间复杂度为 $O(M^2N^2)$。

• 空间复杂度：$O(MN)$，需要创建额外的空间对每个元素进行标记，因此空间复杂度度为 $O(MN)$。

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