9种求斐波那契数(Fibonacci Numbers)的算法

By Long Luo

斐波那契数列( $\textit{Fibonacci sequence}$ ) ^[1]，又称黄金分割数列，因数学家莱昂纳多·斐波那契( $\textit{Leonardoda Fibonacci}$ ) ^[2] 以兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”，指的是这样一个数列：

$0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233……$

这个数列从第 $3$ 项开始，每一项都等于前两项之和。

斐波那契数的边界条件是 $F(0)=0$ 和 $F(1)=1$。当 $n>1$ 时，每一项的和都等于前两项的和，因此有如下递推关系：

$F(n)=F(n-1)+F(n-2)$

算法一：暴力法

如果不需要求解特别大的数值，又对时间敏感的话，可以有投机取巧的方法：

class Solution {
    int[] fib_nums = {
            0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377, 610, 987, 1597, 2584, 4181,
            6765, 10946, 17711, 28657, 46368, 75025, 121393, 196418, 317811, 514229, 832040,
            1346269, 2178309, 3524578, 5702887, 9227465, 14930352, 24157817, 39088169, 63245986,
            102334155, 165580141, 267914296, 433494437, 701408733, 1134903170, 1836311903
    };

    public int fib(int n) {
        return fib_nums[n];
    }
};

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(1)$
• 空间复杂度: $O(n)$

算法二: 递归(recursion)

显而易见斐波那契数列存在递归关系，很容易想到使用递归方法来求解：

public class Solution {

    public static int fib(int n) {
        if (n <= 1) {
            return n;
        }

        return fib(n - 1) + fib(n - 2);
    }

    public static void main(String[] args) {
        System.out.println("1 ?= " + fib(1));
        System.out.println("1 ?= " + fib(2));
        System.out.println("2 ?= " + fib(3));
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$T(n)=T(n-1)+T(n-2)$，可见是指数级的。

我们可以写出其实现递归树，如下所示：

						fib(5)   
                     /                \
               fib(4)                fib(3)   
             /        \              /       \ 
         fib(3)      fib(2)         fib(2)   fib(1)
        /    \       /    \        /      \
  fib(2)   fib(1)  fib(1) fib(0) fib(1) fib(0)
  /     \
fib(1) fib(0)

可以看出其做了很多重复性的计算，因此对于数值比较大时，其性能是灾难性的。

• 空间复杂度：$O(n)$，函数递归栈。

算法三: 动态规划(dynamic programming)

因为斐波那契数列存在递推关系，因为也可以使用动态规划来实现。动态规划的状态转移方程即为上述递推关系，边界条件为 $F(0)$ 和 $F(1)$。

class Solution {
    public static int fib(int n) {
        /* Declare an array to store Fibonacci numbers. */
        int f[] = new int[n + 2]; // 1 extra to handle case, n = 0
        int i;

        /* 0th and 1st number of the series are 0 and 1*/
        f[0] = 0;
        f[1] = 1;

        for (i = 2; i <= n; i++) {
            /* Add the previous 2 numbers in the series and store it */
            f[i] = f[i - 1] + f[i - 2];
        }

        return f[n];
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度：$O(n)$。
• 空间复杂度：$O(n)$。

算法四：记录值的动态规划实现

针对[算法二](#算法二: 递归(recursion))，我们可以将计算好的值存储起来以避免重复运算，如下所示：

// Initialize array of dp
public static int[] dp = new int[10];

public static int fib(int n) {
    if (n <= 1) {
        return n;
    }

    // Temporary variables to store values of fib(n-1) & fib(n-2)
    int first, second;

    if (dp[n - 1] != -1) {
        first = dp[n - 1];
    } else {
        first = fib(n - 1);
    }

    if (dp[n - 2] != -1) {
        second = dp[n - 2];
    } else {
        second = fib(n - 2);
    }

    // Memoization
    return dp[n] = first + second;
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(n)$
• 空间复杂度: $O(n)$

算法五: 空间优化的动态规划(Space Optimized)

[算法三](#算法三: 动态规划(dynamic programming))时间复杂度和空间复杂度都是 $O(n)$，但由于 $F(n)$ 只和 $F(n-1)$ 与 $F(n-2)$ 有关，因此可以使用滚动数组思想把空间复杂度优化成 $O(1)$。代码如下所示:

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int p = 0, q = 0, r = 1;
        for (int i = 2; i <= n; ++i) {
            p = q; 
            q = r; 
            r = p + q;
        }
        return r;
    }
}

复杂度分析：

• 时间复杂度: $O(n)$。
• 空间复杂度: $O(1)$。

算法六：矩阵幂

使用矩阵快速幂的方法可以降低时间复杂度。

首先我们可以构建这样一个递推关系：

$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \\ \end{bmatrix} \begin{bmatrix} F(n) \\ F(n-1) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(n)+F(n-1) \\ F(n) \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} F(n+1) \\ F(n) \\ \end{bmatrix}$

因此：

$\left[\begin{matrix} F(n+1) \\ F(n) \end{matrix} \right] = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right] ^n \left[ \begin{matrix} F(1)\\ F(0) \end{matrix} \right]$

令：

$M = \left[ \begin{matrix} 1 & 1 \\ 1 & 0 \end{matrix} \right]$

因此只要我们能快速计算矩阵 $M$ 的 $n$ 次幂，就可以得到 $F(n)$ 的值。如果直接求取 $M^n$，时间复杂度是 $O(n)$，

class Solution {
    public static int fib(int n) {
        int F[][] = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}};
        if (n == 0) {
            return 0;
        }
        power(F, n - 1);
        return F[0][0];
    }

    /* Helper function that multiplies 2 matrices F and M of size 2*2, and
    puts the multiplication result back to F[][] */
    public static void multiply(int F[][], int M[][]) {
        int x = F[0][0] * M[0][0] + F[0][1] * M[1][0];
        int y = F[0][0] * M[0][1] + F[0][1] * M[1][1];
        int z = F[1][0] * M[0][0] + F[1][1] * M[1][0];
        int w = F[1][0] * M[0][1] + F[1][1] * M[1][1];

        F[0][0] = x;
        F[0][1] = y;
        F[1][0] = z;
        F[1][1] = w;
    }

    /* Helper function that calculates F[][] raise to the power n and puts the
    result in F[][]
    Note that this function is designed only for fib() and won't work as general
    power function */
    public static void power(int F[][], int n) {
        int i;
        int M[][] = new int[][]{{1, 1}, {1, 0}};

        // n - 1 times multiply the matrix to {{1,0},{0,1}}
        for (i = 2; i <= n; i++) {
            multiply(F, M);
        }
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(n)$，在于计算矩阵的 $n$ 次幂。
• 空间复杂度: $O(1)$。

算法七：矩阵快速幂(分治快速幂运算)

算法五的时间复杂度是 $O(n)$，但可以降低到 $O(logn)$，因为可以使用分治算法加快幂运算，加速这里 $M^n$ 的求取。如下所示：

class Solution {
    public int fib(int n) {
        if (n < 2) {
            return n;
        }
        int[][] q = {{1, 1}, {1, 0}};
        int[][] res = pow(q, n - 1);
        return res[0][0];
    }

    public int[][] pow(int[][] a, int n) {
        int[][] ret = {{1, 0}, {0, 1}};
        while (n > 0) {
            if ((n & 1) == 1) {
                ret = multiply(ret, a);
            }
            n >>= 1;
            a = multiply(a, a);
        }
        return ret;
    }

    public int[][] multiply(int[][] a, int[][] b) {
        int[][] c = new int[2][2];
        for (int i = 0; i < 2; i++) {
            for (int j = 0; j < 2; j++) {
                c[i][j] = a[i][0] * b[0][j] + a[i][1] * b[1][j];
            }
        }
        return c;
    }
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(logn)$。
• 空间复杂度: $O(logn)$，函数栈。

算法八：斐波那契数新算法求解

这是另外一种求解斐波那契数的算法，证明如下：

1. 矩阵形式的通项

$\begin{pmatrix} F_{n+2} \\ F_{n+1} \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1, &1 \\ 1,&0 \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F_{n+1} \\ F_{n} \end{pmatrix}$

不妨令：$A=\begin{pmatrix} 1,&1 \\ 1,&0 \end{pmatrix}$，$F_1=1$，$F_0=0$，证明：

$A^n=\begin{pmatrix} F_{n+1}, &F_n \\ F_n,&F_{n-1} \end{pmatrix}$

采用数学归纳法进行证明，

1. 当 $k=1$ 时：

$A^1=\begin{pmatrix}F_{2},&F_1 \\ F_1,&F_{0} \end{pmatrix}$

显然成立！

2. 当 $k=n$ 时：

$A^{n+1}=A^n \cdot A=\begin{pmatrix} F_{n+1}, &F_n \\ F_n,&F_{n-1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} 1, &1 \\ 1, &0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} F_{n+2},&F_{n+1} \\ F_{n+1},&F_{n} \end{pmatrix}$

2. 偶数项和奇数项

因为 $A^n=\begin{pmatrix}F_{n+1}, &F_n \\ F_n, &F_{n-1} \end{pmatrix}$，则有：

$A^{2m} = A^m \cdot A^m$

因为：

$A^{2m}= \begin{pmatrix} F_{2m+1}, &F_{2m} \\ F_{2m}, &F_{2m-1}\end{pmatrix}$

所以：

$A^{2m} = \begin{pmatrix} F_{m+1}, &F_m \\ F_m, &F_{m-1} \end{pmatrix} \cdot \begin{pmatrix} F_{m+1}, &F_m \\ F_m, &F_{m-1} \end{pmatrix} \\ = \begin{pmatrix} F^2_{m+1}+F^2_{m}, &F_m(F_m+2F_{m-1}) \\ F_m(F_m+2F_{m-1}), &F^2_m+F^2_{m-1} \end{pmatrix}$

所以有：

$F_{2m+1}=F^2_{m+1}+F^2_{m}$

$F_{2m}=F_m(F_m+2F_{m-1})$

3. 矩形形式求解Fib(n)

因为涉及到矩阵幂次，考虑到数的幂次的递归解法：

$n$ 为奇数：$n=2k+1$

$F_n =F_{2k+1}= F^2_{k+1}+F^2_{k}$

$F_{n+1}=F_{2k+2}=F_{k+1}(F_{k+1}+2F_k)$

$n$ 为偶数：$n=2k$

$F_n=F_{2k}=F_k(F_k+2F_{k-1})=F_k(F_k+2(F_{k+1}-F_k))$

$F_{n+1}=F_{2k+1}=F^2_{k+1}+F^2_{k}$

根据上述公式，我们可以写出如下代码：

public static int MAX = 1000;
public static int f[];

// Returns n'th fibonacci number using
// table f[]
public static int fib(int n) {
    if (n == 0) {
        return 0;
    }

    if (n == 1 || n == 2) {
        return (f[n] = 1);
    }

    // If fib(n) is already computed
    if (f[n] != 0) {
        return f[n];
    }

    int k = (n & 1) == 1 ? (n + 1) / 2 : n / 2;

    // Applying above formula [Note value n&1 is 1 if n is odd, else 0.
    f[n] = (n & 1) == 1 ? (fib(k) * fib(k) + fib(k - 1) * fib(k - 1)) : (2 * fib(k - 1) + fib(k)) * fib(k);

    return f[n];
}

复杂度分析

• 时间复杂度: $O(\log n)$。
• 空间复杂度: $O(1)$。

算法九：通项公式(Using Formula)

斐波那契数 $F(n)$ 是齐次线性递推，根据递推方程 $F(n)=F(n-1)+F(n-2)$，可以写出这样的特征方程：

$x^2=x+1$

求得 $x_1 = \frac{1+\sqrt{5}}{2}$, $x_2 = \frac{1-\sqrt{5}}{2}$。设通解为 $F(n)=c_1x_1^n+c_2x_2^n$，代入初始条件 $F(0)=0$，$F(1)=1$，得 $c_1=\frac{1}{\sqrt{5}}$ ，$c_2=-\frac{1}{\sqrt{5}}$。

因此斐波那契数的通项公式如下：

$F(n)=\frac{1}{\sqrt{5}}\left[ \left(\frac{1+\sqrt{5}}{2}\right)^{n} - \left(\frac{1-\sqrt{5}}{2}\right)^{n} \right]$

得到通项公式之后，就可以通过公式直接求解第$n$项。

class Solution {
    public int fib(int n) {
        double sqrt5 = Math.sqrt(5);
        double fibN = Math.pow((1 + sqrt5) / 2, n) - Math.pow((1 - sqrt5) / 2, n);
        return (int) Math.round(fibN / sqrt5);
    }
}

复杂度分析

时间复杂度: $O(logn)$
空间复杂度: $O(1)$

总结

通过上述，我们使用了9种算法来求解斐波那契数列，这9种方法综合了递归、迭代、数学等各方面知识，值得认真学习！

参考文献

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1. Wiki: Fibonacci Number ↩︎

2. Wiki: Fibonacci ↩︎