[Leetcode][18. 四数之和] 4种方法:暴力,双指针,DFS,HashMap

By Long Luo

Leetcode 18. 四数之和 题解。

方法一:暴力枚举

思路与算法:

15. 三数之和 类似,我们先对数组进行排序,然后44层循环即可。

由于结果肯定会出现重复的数字,所以我们使用Set来去重,代码如下所示:

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}

Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
Set<List<Integer>> ans = new HashSet<>();
for (int first = 0; first < n - 3; first++) {
for (int second = first + 1; second < n - 2; second++) {
for (int third = second + 1; third < n - 1; third++) {
for (int fourth = third + 1; fourth < n; fourth++) {
if (nums[first] + nums[second] + nums[third] + nums[fourth] == target) {
ans.add(Arrays.asList(nums[first], nums[second], nums[third], nums[fourth]));
}
}
}
}
}

return new ArrayList<>(ans);
}

我们可以在每次循环中增加判断,防止出现重复四元组,使用List

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}

Arrays.sort(nums);
int len = nums.length;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int i = 0; i < len - 3; i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}

if ((long)nums[i] + nums[i + 1] + nums[i + 2] + nums[i + 3] > target) {
break;
}

if ((long)nums[i] + nums[len - 3] + nums[len - 2] + nums[len - 1] < target ) {
continue;
}

for (int j = i + 1; j < len - 2; j++) {
if (j > i + 1 && nums[j] == nums[j - 1]) {
continue;
}

if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[j + 1] + nums[j + 2] > target) {
break;
}

if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[len - 2] + nums[len - 1] < target) {
continue;
}

for (int k = j + 1; k < len - 1; k++) {
if (k > j + 1 && nums[k] == nums[k - 1]) {
continue;
}

if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[k + 1] > target) {
break;
}

if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[len - 1] < target) {
continue;
}

for (int l = k + 1; l < len; l++) {
if (l > k + 1 && nums[l] == nums[l - 1]) {
continue;
}

if (nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[l] == target) {
ans.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k], nums[l]));
}
}
}
}
}

return ans;
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n4)O(n^4),其中nn是数组nums\textit{nums}的长度。

  • 空间复杂度:O(logn)O(logn), 空间复杂度主要取决于排序额外使用的空间O(logn)O(logn)

方法二:双指针

思路与算法:

使用两重循环分别枚举前两个数,然后在两重循环枚举到的数之后使用双指针枚举剩下的两个数。

假设两重循环枚举到的前两个数分别位于下标iijj,其中i<ji < j。初始时,左右指针分别指向下标j+1j + 1和下标n1n - 1

每次计算四个数的和,并进行如下操作:

  • 如果sum==targetsum == target,则将枚举到的四个数加到答案中,然后将左指针右移直到遇到不同的数,将右指针左移直到遇到不同的数;
  • 如果sum<targetsum < target,则将左指针右移一位;
  • 如果sum>targetsum > target,则将右指针左移一位。

使用双指针枚举剩下的两个数的时间复杂度是O(n)O(n),因此总时间复杂度是O(n3)O(n^3)

具体实现时,还可以进行一些剪枝操作:

  • 在确定第一个数之后,如果nums[i]+nums[i+1]+nums[i+2]+nums[i+3]>targetnums[i]+nums[i+1]+nums[i+2]+nums[i+3] > \textit{target},说明此时剩下的三个数无论取什么值,四数之和一定大于target\textit{target},因此退出第一重循环;
  • 在确定第一个数之后,如果nums[i]+nums[n3]+nums[n2]+nums[n1]<targetnums[i]+nums[n-3]+nums[n-2]+nums[n-1] < \textit{target},说明此时剩下的三个数无论取什么值,四数之和一定小于 target\textit{target},因此第一重循环直接进入下一轮,枚举nums[i+1]nums[i+1]
  • 在确定前两个数之后,如果nums[i]+nums[j]+nums[j+1]+nums[j+2]>targetnums[i]+nums[j]+nums[j+1]+nums[j+2] >\textit{target},说明此时剩下的两个数无论取什么值,四数之和一定大于target\textit{target},因此退出第二重循环;
  • 在确定前两个数之后,如果nums[i]+nums[j]+nums[n2]+nums[n1]<targetnums[i]+nums[j]+nums[n-2]+nums[n-1] <\textit{target},说明此时剩下的两个数无论取什么值,四数之和一定小于target\textit{target},因此第二重循环直接进入下一轮,枚举nums[j+1]nums[j+1]

需要注意的是:由于可能出现的溢出,对数据需要转换成long型。

代码如下所示:

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public static List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}

Arrays.sort(nums);
int n = nums.length;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
for (int first = 0; first < n - 3; first++) {
if (first > 0 && nums[first] == nums[first - 1]) {
continue;
}

// 部分用例溢出,改成target减去形式
if (nums[first] + nums[first + 1] > target - nums[first + 3] - nums[first + 2]) {
break;
}

// 部分用例溢出,改成target减去形式
if (nums[first] + nums[n - 3] < target - nums[n - 1] - nums[n - 2]) {
continue;
}

for (int second = first + 1; second < n - 2; second++) {
if (second > first + 1 && nums[second] == nums[second - 1]) {
continue;
}

// 部分用例溢出,改成target减去形式
if (nums[first] + nums[second] > target - nums[second + 2] - nums[second + 1]) {
break;
}

// 部分用例溢出,改成target减去形式
if (nums[first] + nums[second] < target - nums[n - 1] - nums[n - 2]) {
continue;
}

int left = second + 1;
int right = n - 1;
while (left < right) {
// 防止溢出情况
long sum = (long) nums[first] + nums[second] + nums[left] + nums[right];
if (sum > target) {
right--;
} else if (sum < target) {
left++;
} else if (sum == target) {
ans.add(Arrays.asList(nums[first], nums[second], nums[left], nums[right]));
left++;
right--;
while (left < right && nums[left] == nums[left - 1]) {
left++;
}
while (left < right && nums[right] == nums[right + 1]) {
right--;
}
}
}
}
}

return ans;
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n3)O(n^3),其中nn是数组的长度。排序的时间复杂度是O(nlogn)O(n\log n),枚举四元组的时间复杂度是O(n3)O(n^3),总时间复杂度为O(n3+nlogn)=O(n3)O(n^3+n\log n)=O(n^3)

  • 空间复杂度:O(logn)O(\log n),其中nn是数组的长度。
    空间复杂度主要取决于排序额外使用的空间。此外排序修改了输入数组 nums\textit{nums},实际情况中不一定允许,因此也可以看成使用了一个额外的数组存储了数组 nums\textit{nums}的副本并排序,空间复杂度为O(n)O(n)

方法三:DFS

思路与算法:

这道题也可以使用回溯法,其实本质还是暴力法,主要问题就是参考暴力法进行剪枝

可以使用Set来降低一个循环,这里也不写了,也很简单,大家参考代码看下思路就行。

代码如下所示:

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}

Arrays.sort(nums);
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
dfs(nums, ans, new ArrayList<>(), 0, target);
return ans;
}

public void dfs(int[] nums, List<List<Integer>> res, List<Integer> list, int start, int target) {
if (list.size() == 4 && target == 0) {
res.add(new ArrayList<>(list));
return;
}

if (list.size() >= 4) {
return;
}

int len = nums.length;

for (int i = start; i < len; i++) {
if (len - i < 4 - list.size()) {
return;
}

if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}

if (i < len - 1 && nums[i] + (long) (3 - list.size()) * nums[i + 1] > target) {
return;
}

if (i < len - 1 && nums[i] + (long) (3 - list.size()) * nums[len - 1] < target) {
continue;
}

list.add(nums[i]);
dfs(nums, res, list, i + 1, target - nums[i]);
list.remove(list.size() - 1);
}
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n4)O(n^4),其中nn是数组的长度。排序的时间复杂度是O(nlogn)O(n\log n),枚举四元组的时间复杂度是O(n4)O(n^4),总时间复杂度为O(n4+nlogn)=O(n4)O(n^4+n\log n)=O(n^4)

  • 空间复杂度:O(n)O(n),其中nn是数组的长度。

方法四:HashMap

思路与算法:

使用HashMap\texttt{HashMap}的话,和 15. 三数之和 一致,我们可以将复杂度降到O(n3)O(n^3)

但可以更进一步,用空间换时间,降低枚举的复杂度,提升构建HashHash的复杂度。

枚举前两个数+哈希后两个数,两个部分的时间复杂度都是O(n2)O(n^2),从而使总体的时间复杂度降为O(n2)O(n^2),但特殊情况下,如果数组元素都一致或者前后对称的话,时间复杂度还是O(n3)O(n^3)

代码如下所示:

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
if (nums == null || nums.length < 4) {
return new ArrayList<>();
}

Arrays.sort(nums);
int len = nums.length;
List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
Map<Integer, List<int[]>> map = new HashMap<>();
for (int j = len - 1; j > 2; j--) {
if (j < len - 1 && nums[j] == nums[j + 1]) {
continue;
}

if (nums[j] < target / 4) {
break;
}

if ((long) nums[j] + 3L * nums[0] > target) {
continue;
}

for (int i = j - 1; i > 1; i--) {
if (i < j - 1 && nums[i] == nums[i + 1]) {
continue;
}

if ((long) nums[j] + 3L * nums[i] < target) {
break;
}

if (nums[j] + nums[i] > target - 2 * nums[0]) {
continue;
}

int sum = nums[i] + nums[j];
List<int[]> list = map.getOrDefault(sum, new ArrayList<>());
list.add(new int[]{i, j});
map.put(sum, list);
}
}

for (int i = 0; i < len - 3; i++) {
if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
continue;
}

if (nums[i] > target / 4) {
break;
}

if ((long) nums[i] + 3L * nums[len - 1] < target) {
continue;
}

for (int j = i + 1; j < len - 2; j++) {
if (j > i + 1 && nums[j] == nums[j - 1]) {
continue;
}

if ((long) nums[i] + 3L * nums[j] > target) {
break;
}

if (2 * nums[len - 1] < target - nums[i] - nums[j]) {
continue;
}

int newTarget = target - nums[i] - nums[j];
if (map.containsKey(newTarget)) {
List<int[]> list = map.get(newTarget);
for (int[] index : list) {
if (j < index[0]) {
ans.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[index[0]], nums[index[1]]));
}
}
}
}
}

return ans;
}

复杂度分析:

  • 时间复杂度:O(n3)O(n^3),其中nn是数组的长度。排序的时间复杂度是O(nlogn)O(n\log n),两个数循环O(n2)O(n^2),但由于需要枚举列表,极端情况下需要O(n)O(n),所以总时间复杂度为O(n^3+n\logn)=O(n^3)

  • 空间复杂度:O(n)O(n),排序额外使用的空间O(logn)O(logn),另外需要O(n)O(n)存储后面2个数之和,O(logn)+O(n)=O(n)O(logn)+O(n)=O(n)


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