[LeetCode][18. 四数之和] 4种方法：暴力，双指针，DFS，HashMap

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By Long Luo

Leetcode 18. 四数之和 题解。

方法一：暴力枚举

思路与算法：

和 15. 三数之和 类似，我们先对数组进行排序，然后 44 层循环即可。

由于结果肯定会出现重复的数字，所以我们使用 Set\texttt{Set} 来去重，代码如下所示：

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
	if (nums == null || nums.length < 4) {
		return new ArrayList<>();
	}

	Arrays.sort(nums);
	int n = nums.length;
	Set<List<Integer>> ans = new HashSet<>();
	for (int first = 0; first < n - 3; first++) {
		for (int second = first + 1; second < n - 2; second++) {
			for (int third = second + 1; third < n - 1; third++) {
				for (int fourth = third + 1; fourth < n; fourth++) {
					if (nums[first] + nums[second] + nums[third] + nums[fourth] == target) {
						ans.add(Arrays.asList(nums[first], nums[second], nums[third], nums[fourth]));
					}
				}
			}
		}
	}

	return new ArrayList<>(ans);
}

我们可以在每次循环中增加判断，防止出现重复四元组，使用 List\texttt{List}：

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
    if (nums == null || nums.length < 4) {
        return new ArrayList<>();
    }

    Arrays.sort(nums);
    int len = nums.length;
    List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    for (int i = 0; i < len - 3; i++) {
        if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }

        if ((long)nums[i] + nums[i + 1] + nums[i + 2] + nums[i + 3] > target) {
            break;
        }

        if ((long)nums[i] + nums[len - 3] + nums[len - 2] + nums[len - 1] < target ) {
            continue;
        }

        for (int j = i + 1; j < len - 2; j++) {
            if (j > i + 1 && nums[j] == nums[j - 1]) {
                continue;
            }

            if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[j + 1] + nums[j + 2] > target) {
                break;
            }

            if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[len - 2] + nums[len - 1] < target) {
                continue;
            }

            for (int k = j + 1; k < len - 1; k++) {
                if (k > j + 1 && nums[k] == nums[k - 1]) {
                    continue;
                }

                if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[k + 1] > target) {
                    break;
                }

                if ((long)nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[len - 1] < target) {
                    continue;
                }

                for (int l = k + 1; l < len; l++) {
                    if (l > k + 1 && nums[l] == nums[l - 1]) {
                        continue;
                    }

                    if (nums[i] + nums[j] + nums[k] + nums[l] == target) {
                        ans.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[k], nums[l]));
                    }
                }
            }
        }
    }

    return ans;
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(n4)O(n^4)，其中 nn 是数组 nums\textit{nums} 的长度。
  • 空间复杂度：O(logn)O(logn)， 空间复杂度主要取决于排序额外使用的空间 O(logn)O(logn)。

方法二：双指针

思路与算法：

使用两重循环分别枚举前两个数，然后在两重循环枚举到的数之后使用双指针枚举剩下的两个数。

假设两重循环枚举到的前两个数分别位于下标 ii 和 jj，其中 i<ji \lt j。初始时，左右指针分别指向下标 j+1j + 1 和下标 n−1n - 1。

每次计算四个数的和，并进行如下操作：

  • 如果 sum==targetsum == target，则将枚举到的四个数加到答案中，然后将左指针右移直到遇到不同的数，将右指针左移直到遇到不同的数；
  • 如果 sum<targetsum \lt target，则将左指针右移一位；
  • 如果 sum>targetsum \gt target，则将右指针左移一位。

使用双指针枚举剩下的两个数的时间复杂度是 O(n)O(n)，因此总时间复杂度是 O(n3)O(n^3)。

具体实现时，还可以进行一些剪枝操作：

  • 在确定第一个数之后，如果 nums[i]+nums[i+1]+nums[i+2]+nums[i+3]>targetnums[i]+nums[i+1]+nums[i+2]+nums[i+3] > \textit{target}，说明此时剩下的三个数无论取什么值，四数之和一定大于 target\textit{target}，因此退出第一重循环；

  • 在确定第一个数之后，如果 nums[i]+nums[n−3]+nums[n−2]+nums[n−1]<targetnums[i]+nums[n-3]+nums[n-2]+nums[n-1] < \textit{target}，说明此时剩下的三个数无论取什么值，四数之和一定小于 target\textit{target}，因此第一重循环直接进入下一轮，枚举nums[i+1]nums[i+1]；

  • 在确定前两个数之后，如果 nums[i]+nums[j]+nums[j+1]+nums[j+2]>targetnums[i]+nums[j]+nums[j+1]+nums[j+2] >\textit{target}，说明此时剩下的两个数无论取什么值，四数之和一定大于 target\textit{target}，因此退出第二重循环；

  • 在确定前两个数之后，如果 nums[i]+nums[j]+nums[n−2]+nums[n−1]<targetnums[i]+nums[j]+nums[n-2]+nums[n-1] <\textit{target}，说明此时剩下的两个数无论取什么值，四数之和一定小于 target\textit{target}，因此第二重循环直接进入下一轮，枚举 nums[j+1]nums[j+1]。

需要注意的是：由于可能出现的溢出，对数据需要转换成 long\texttt{long} 型。

代码如下所示：

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public static List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
	if (nums == null || nums.length < 4) {
		return new ArrayList<>();
	}

	Arrays.sort(nums);
	int n = nums.length;
	List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
	for (int first = 0; first < n - 3; first++) {
		if (first > 0 && nums[first] == nums[first - 1]) {
			continue;
		}

		// 部分用例溢出，改成target减去形式
		if (nums[first] + nums[first + 1] > target - nums[first + 3] - nums[first + 2]) {
			break;
		}

		// 部分用例溢出，改成target减去形式
		if (nums[first] + nums[n - 3] < target - nums[n - 1] - nums[n - 2]) {
			continue;
		}

		for (int second = first + 1; second < n - 2; second++) {
			if (second > first + 1 && nums[second] == nums[second - 1]) {
				continue;
			}

			// 部分用例溢出，改成target减去形式
			if (nums[first] + nums[second] > target - nums[second + 2] - nums[second + 1]) {
				break;
			}

			// 部分用例溢出，改成target减去形式
			if (nums[first] + nums[second] < target - nums[n - 1] - nums[n - 2]) {
				continue;
			}

			int left = second + 1;
			int right = n - 1;
			while (left < right) {
				// 防止溢出情况
				long sum = (long) nums[first] + nums[second] + nums[left] + nums[right];
				if (sum > target) {
					right--;
				} else if (sum < target) {
					left++;
				} else if (sum == target) {
					ans.add(Arrays.asList(nums[first], nums[second], nums[left], nums[right]));
					left++;
					right--;
					while (left < right && nums[left] == nums[left - 1]) {
						left++;
					}
					while (left < right && nums[right] == nums[right + 1]) {
						right--;
					}
				}
			}
		}
	}

	return ans;
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(n3)O(n^3)，其中 nn 是数组的长度。排序的时间复杂度是 O(nlog⁡n)O(n\log n)，枚举四元组的时间复杂度是 O(n3)O(n^3)，总时间复杂度为 O(n3+nlog⁡n)=O(n3)O(n^3+n\log n)=O(n^3)。
  • 空间复杂度：O(log⁡n)O(\log n)，其中 nn 是数组的长度。
    空间复杂度主要取决于排序额外使用的空间。此外排序修改了输入数组 nums\textit{nums}，实际情况中不一定允许，因此也可以看成使用了一个额外的数组存储了数组 nums\textit{nums} 的副本并排序，空间复杂度为 O(n)O(n)。

方法三：DFS

思路与算法：

这道题也可以使用回溯法，其实本质还是暴力法，主要问题就是参考暴力法进行剪枝。

可以使用 Set\texttt{Set} 来降低一个循环，这里也不写了，也很简单，大家参考代码看下思路就行。

代码如下所示：

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
    if (nums == null || nums.length < 4) {
        return new ArrayList<>();
    }

    Arrays.sort(nums);
    List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    dfs(nums, ans, new ArrayList<>(), 0, target);
    return ans;
}

public void dfs(int[] nums, List<List<Integer>> res, List<Integer> list, int start, int target) {
    if (list.size() == 4 && target == 0) {
        res.add(new ArrayList<>(list));
        return;
    }

    if (list.size() >= 4) {
        return;
    }

    int len = nums.length;

    for (int i = start; i < len; i++) {
        if (len - i < 4 - list.size()) {
            return;
        }

        if (i > start && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }

        if (i < len - 1 && nums[i] + (long) (3 - list.size()) * nums[i + 1] > target) {
            return;
        }

        if (i < len - 1 && nums[i] + (long) (3 - list.size()) * nums[len - 1] < target) {
            continue;
        }

        list.add(nums[i]);
        dfs(nums, res, list, i + 1, target - nums[i]);
        list.remove(list.size() - 1);
    }
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(n4)O(n^4)，其中 nn 是数组的长度。排序的时间复杂度是 O(nlog⁡n)O(n\log n)，枚举四元组的时间复杂度是 O(n4)O(n^4)，总时间复杂度为 O(n4+nlog⁡n)=O(n4)O(n^4+n\log n)=O(n^4)。
  • 空间复杂度：O(n)O(n)，其中 nn 是数组的长度。

方法四：HashMap

思路与算法：

使用 HashMap\texttt{HashMap} 的话，和 15. 三数之和 一致，我们可以将复杂度降到 O(n3)O(n^3)。

但可以更进一步，用空间换时间，降低枚举的复杂度，提升构建 Hash\texttt{Hash} 的复杂度。

枚举前两个数 + 哈希后两个数，两个部分的时间复杂度都是 O(n2)O(n^2)，从而使总体的时间复杂度降为 O(n2)O(n^2)，但特殊情况下，如果数组元素都一致或者前后对称的话，时间复杂度还是 O(n3)O(n^3)。

代码如下所示：

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public List<List<Integer>> fourSum(int[] nums, int target) {
    if (nums == null || nums.length < 4) {
        return new ArrayList<>();
    }

    Arrays.sort(nums);
    int len = nums.length;
    List<List<Integer>> ans = new ArrayList<>();
    Map<Integer, List<int[]>> map = new HashMap<>();
    for (int j = len - 1; j > 2; j--) {
        if (j < len - 1 && nums[j] == nums[j + 1]) {
            continue;
        }

        if (nums[j] < target / 4) {
            break;
        }

        if ((long) nums[j] + 3L * nums[0] > target) {
            continue;
        }

        for (int i = j - 1; i > 1; i--) {
            if (i < j - 1 && nums[i] == nums[i + 1]) {
                continue;
            }

            if ((long) nums[j] + 3L * nums[i] < target) {
                break;
            }

            if (nums[j] + nums[i] > target - 2 * nums[0]) {
                continue;
            }

            int sum = nums[i] + nums[j];
            List<int[]> list = map.getOrDefault(sum, new ArrayList<>());
            list.add(new int[]{i, j});
            map.put(sum, list);
        }
    }

    for (int i = 0; i < len - 3; i++) {
        if (i > 0 && nums[i] == nums[i - 1]) {
            continue;
        }

        if (nums[i] > target / 4) {
            break;
        }

        if ((long) nums[i] + 3L * nums[len - 1] < target) {
            continue;
        }

        for (int j = i + 1; j < len - 2; j++) {
            if (j > i + 1 && nums[j] == nums[j - 1]) {
                continue;
            }

            if ((long) nums[i] + 3L * nums[j] > target) {
                break;
            }

            if (2 * nums[len - 1] < target - nums[i] - nums[j]) {
                continue;
            }

            int newTarget = target - nums[i] - nums[j];
            if (map.containsKey(newTarget)) {
                List<int[]> list = map.get(newTarget);
                for (int[] index : list) {
                    if (j < index[0]) {
                        ans.add(Arrays.asList(nums[i], nums[j], nums[index[0]], nums[index[1]]));
                    }
                }
            }
        }
    }

    return ans;
}

复杂度分析：

  • 时间复杂度：O(n3)O(n^3)，其中 nn 是数组的长度。排序的时间复杂度是 O(nlog⁡n)O(n\log n)，两个数循环 O(n2)O(n^2)，但由于需要枚举列表，极端情况下需要 O(n)O(n)，所以总时间复杂度为 O(n^3+n\logn)=O(n^3)。
  • 空间复杂度：O(n)O(n)，排序额外使用的空间 O(logn)O(logn)，另外需要 O(n)O(n) 存储后面2个数之和，O(logn)+O(n)=O(n)O(logn)+O(n)=O(n)。

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