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经典算法:从约瑟夫问题说开去...

By Long Luo

约瑟夫问题是每个学计算机的同学都会遇到的经典编程题,下面我们就来通过这道题对好好学习下算法和编程吧,Let’s go!

一、约瑟夫问题简介

据说著名犹太历史学家Josephus有过以下的故事:

在罗马人占领乔塔帕特后,39个犹太人与Josephus及他的朋友躲到一个洞中,39个犹太人决定宁愿死也不要被敌人抓到,于是决定了一个自杀方式,41个人排成一个圆圈,由第1个人开始报数,每报数到第3人该人就必须自杀,然后再由下一个重新报数,直到所有人都自杀身亡为止。

然而Josephus和他的朋友并不想遵从这个规则,Josephus要他的朋友先假装遵从,他将朋友与自己安排在第16个与第31个位置,于是逃过了这场死亡游戏。

二、约瑟夫问题算法分析

约瑟夫问题可用代数分析来求解,将这个问题扩大好了,假设现在您与m个朋友不幸参与了这个游戏,您要如何保护您与您的朋友?

只要画两个圆圈就可以让自己与朋友免于死亡游戏,这两个圆圈内圈是排列顺序,而外圈是自杀顺序,如下图所示:

Josephus Problem

假如使用编程来求解的话,只要将array当作环状来处理就可以了,在array中由计数1开始,每找到3个无数据区就填入1个计数,直到计数达41为止,然后将array由索引1开始列出,就可以得知每个位置的自杀顺序,这就是约瑟夫排列,41个人而报数3的约琴夫排列如下所示:

14 36 1 38 15 2 24 30 3 16 34 425 17 5 40 31 6 18 26 7 37 19 8 35 27 9 20 32 10 41 21 11 28 39 12 22 33 13 29 23

由上可知,最后一个自杀的是在第31个位置,而倒数第二个自杀的要排在第16个位置,而之前的人都死光了,所以他们也就不知道约瑟夫与他的朋友并没有遵守游戏规则了。

这是一道经典算法问题,每个学编程的同学都会遇到。一般常见的问法有以下几种:

  1. 输出自杀顺序
  2. 输出最后一个自杀同学编号

下面我们就来动手实践下,具体实现代码如下所示:

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private static int Josephus(int n, int m) {
int[] peopleArr = new int[n];
for (int i = 0; i < n; i++) {
peopleArr[i] = i + 1;
}

int index = 0;
int length = n;
int count = 1;

while (length > 0) {
if (peopleArr[index % n] > 0) {
if (count % m == 0) {
// 找到要出圈的人,并把圈中人数减1
System.out.print(peopleArr[index % n] + " ");
peopleArr[index % n] = -1;
count = 1;
index++;
length--;
} else {
index++;
count++;
}
} else {
// 遇到空位了,就跳到下一位,但count不加1,也就是这个位置没有报数
index++;
}
}

return index;
}

三、递归实现

这道题也可以使用递归来实现,原理如下:

令f[n]表示当有n个候选人时,最后当选者的编号。则:
f[1] = 0
f[n] = (f[n - 1] + K) mod n

方法证明:

上述公式可以用数据归纳法简单证明其正确性:

f[1] = 0

当只有一个候选人的时候,显然结果应该是0

f[n] = (f[n - 1] + K) mod n

f[n - 1]为第n - 1次数到的id序列,则第n次就是再往下数k个,最后进行取模运算即可得到结果序列

这种算法的时间复杂度为O(N),空间复杂度为O(1),效率有所提高!

以n=5, m=3为例,一开始有这么5个人:

0 1 2 3 4

第一轮报数后2号死亡,圈子里剩下来的人的编号是这些:

3 4 0 1

这里把3号写在最前面了,因为轮到3开始报数。如果我们有办法知道n=4时的答案,即初始圈子为:

0 1 2 3

时的答案,那么可以把n=4的初始圈子的所有数x变换成(x+3) mod 5,得到:

3 4 0 1

这个恰好就是n=5时第一轮结束后的圈子状态,也就是说我们可以根据n=4的答案推出n=5时的答案。

归纳如下:

设f(n)为初始有n人时最后一个自杀的人的编号,那么有如下递推式:
f(n) = (f(n-1) + m) mod n

手工演算一下就能发现n = z时的圈子第一轮结束后(即m-1号自杀后)的圈子状态,可以由n = z - 1的初始圈子施以变换x -> (x+m) mod z得到。于是我们可以从n = 1开始(此时的答案是0),推出n=2的答案,再推出n=3,直到计算到所要求的n。

下面为具体实现:

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private static int Josephus(int n, int m) {
int s = 0;
for (int i = 2; i <= n; i++) {
s = (s + m) % i;
}

return s;
}

四、扩展

假如有k个好人,和k个坏人,所有人站成一圈,前k个人是好人,后k个人是坏人, 编写程序计算一个最小的m,使k个坏人都被处决,而不处决任何好人。
输入:
k为正整数

输出:
返回: 最小的m,使k个坏人都被处决,而不处决任何好人。

算法及代码实现如下:

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public static int getMinimumM(int K) {
/* 在这里实现功能 */
int m = K + 1;

while (true) {
int index = 0;
int size = 2 * K;
while (true) {
index = (index + m - 1) % size;
if (index < K) {
break;
}
size--;
}
if (size == K) {
return m;
}
m++;
}
}

以上。

Updated By Long Luo at Shenzhen 19th, Aug, 2019.