By Long Luo
挖坑
f(x)=f(a)+f(x)−f(a)=f(a)+∫axf′(t)dt=f(a)−∫axf′(t)d(x−t)=f(a)−f′(t)(x−t)∣ax−21∫axf′′(t)d[(x−t)2]=f(a)+f′(a)(x−a)+2f′′(a)(x−a)2−3!1∫axf′′′(t)d[(x−t)]3
不断重复这一过程,可知当 f 的 n+1 阶导数连续时,有:
f(x)=k=0∑nk!f(k)(a)(x−a)k+Rn(x)
其中积分余项 为:
Rn(x)=n!1∫axf(n+1)(t)(x−t)ndt
参考文献
- Taylor’s theorem
- Taylor Series
- Intuition for Taylor Series